Deje $f : [0, \infty) \longrightarrow [0, \infty)$ ser cóncava con $f (0) = 0$$f (x) > 0$$x > 0$. Mostrar que $f$ es no decreciente.
Está claro que una función cóncava $f$ puede estar disminuyendo. Intuitivamente, $f$ deberá ser negativo más allá de un cierto punto, sin embargo. Una vez que se ha convertido en "derecho" (es decir, hacia abajo) concavidad impide evitar el eje de abscisas.
Estoy buscando un razonablemente elegante de la prueba. He intentado formalizar mi intuición como sigue, pero me temo que mi argumento no es muy riguroso (si es que la derecha en el primer lugar). Tal vez hay también diferentes y mejores enfoques que la mía.
Aquí está mi intento: Concacity implica que $f (\lambda x + (1 - \lambda) z) \ge \lambda f (x) + f ((1 - \lambda) z)$ $0 \le x < z$ $\lambda \in (0, 1)$ o, alternativamente, $$\frac{f (z) - f (y)}{z - y} \le \frac{f (z) - f (x)}{z - x} \le \frac{f (y) - f (x)}{y - x}$$ para $0 \le x < y < z$. (Deje $1 - \lambda := \frac{y - x}{z - x}$, por lo que el $\lambda x + (1 - \lambda) z = y$ a repetir concavidad sin $\lambda$.) De ello se sigue que $$f (z) \le \frac{f (y) - f (x)}{y - x} (z - y) + f (y).$$
Gráficamente hablando, $f (z)$ debe estar en o por debajo de la secante a través de $f (x)$ $f (y)$ todos los $z > y$. Supongamos que $f (y) < f (x)$ algunos $x < y$. La secante es entonces estrictamente decreciente-y así es$f$$z > y$.
Como resultado, $f$ debe girar a la negativa donde la secante se cruza con el eje de abscisas o antes. Esto contradice la suposición. Por lo tanto, $f (y) \ge f (x)$ todos los $0 \le x < y$.
Nota: siento que requiere el argumento $f$ a ser continua, aunque yo no ver cómo aplicar el teorema del valor intermedio rigurosamente. La continuidad de la siguiente manera a partir de la concavidad, aunque.
