Abrir los subconjuntos de la conexión de suma $M_1\# M_2$

Question

Estoy tratando de resolver un problema en John Lee ITM (Problema 4-19), pero parece que necesito ayuda ahora. Aquí está el problema :

Deje $M_1 \# M_2$ ser conectado suma de $n$-colectores $M_1$$M_2$. Mostrar que hay abierto subconjuntos $U_1,U_2 \subseteq M_1 \# M_2$ y puntos de $p_i \in M_i$ tal que $U_i \approx M_i \smallsetminus \{p_i\}$, $U_1 \cap U_2 \approx \mathbb{R}^n \smallsetminus \{0\}$, y $U_1\cup U_2 = M_1 \# M_2$.

La definición de la conexión de la suma de $M_1\# M_2$ es la contigüidad espacio de $M_1' \cup_f M_2'$ bajo una homeomorphism $f : \partial M_1' \to \partial M_2'$ donde $M_i' = M_i \smallsetminus B_i$ $B_i \subseteq M_i$ es regular, coordinar bola de $M_i$. Regular, coordinar balón $B_i \subseteq M_i$ es una coordenada pelota con homeomorphism $\varphi : B' \to \varphi(B')=B_{r'}(0)$ donde $B' \supseteq B$, de tal manera que $\varphi(B) = B_r(0)$$\varphi(\bar{B}) = \bar{B}_r(0)$$r'>r>0$.

Si denotamos el incrustaciones como $e_i : M_i' \to M_1 \# M_2$, y el más grande y abierto subconjuntos contienen las coordenadas de bolas $B_i$$B_i'$, supongo que el que desee abrir los subconjuntos de a$U_1 = e_1(M_1')\cup e_2(B_2' \smallsetminus B_2)$$U_2 = e_1(B_1'\smallsetminus B_1) \cup e_2(M_2')$. Pero estoy teniendo problemas para mostrar que $U_i \approx M_i\smallsetminus \{p_i\}$. En realidad me las arreglé para demostrar que (a $p_i$ es elegido como el "centro" de coordinar balón $B_i$), pero mi solución es bastante largo. Así que no estoy seguro de que es correcto (voy a añadir mi solución si es necesario).

Si estas opciones de $U_1,U_2$ es correcto yo realmente apreciaría si alguien decirme alguna sugerencia para mostrar que $U_i \approx M_i \smallsetminus \{p_i\}$. Si no es así, entonces me gustaría saber cual es la correcta opciones de aspecto. Gracias.

$\textbf{Edit : }$Creo que ya tengo lo que quiero aquí. Tiene una buena respuesta.

Answer 1

En $M_i$ tienes el open ajusta $B_i \subset B'_i \subset M_i$ como en tu pregunta. Elija $s < r$ y deje $B_i'' = \varphi^{-1}(B_s(0))$. Definir $V_i = M_i \backslash \overline{B_i''}$, $p_i = \varphi^{-1}(0)$ y $U_i = e_i(V_i)$. A ver que $U_i \approx M_i \backslash \lbrace p_i \rbrace$ construir un homeomorphism $h_i : V_i \to M_i \backslash \lbrace p_i \rbrace$ que es la identidad en $M_i \backslash B_i$ e identifica a $\overline{B}_i \backslash \overline{B_i''}$ $\overline{B}_i \backslash \lbrace p_i \rbrace$ (el límite debe ser fijo).

Usted puede reducir este a mostrar que la si $0 < s < r$ $\overline{B}_r(0) \backslash \overline{B}_s(0) \approx \overline{B}_r(0) \backslash \lbrace 0 \rbrace$ con un homeomorphism la fijación de todos los puntos de la frontera de $\overline{B}_r(0)$. Esto se puede hacer por la radial de estiramiento ($(s,r]$ se extiende a $(0,r]$).