Significado de Yang-Baxter ecuación para el clásico de la $r$-matriz

Question

Estoy leyendo este [math/9802054] papel en la estructura del espacio de fases de Chern-Simons TQFT. Estoy atascado en la definición de los clásicos $r$-matriz, que va como sigue:

Esto puede sonar tonto, pero no entiendo lo que $r_{12}$, $r_{23}$, $r_{13}$, $r_{21}$ es. Me podrían beneficiarse mucho de un ejemplo que ilustra.

De la ecuación (15) sugiere que $r_{12}$ $r_{21}$ a partir de la ecuación (14) se puede definir como $r$ y su transpuesta. Pero sospecho que $r_{12}$ a partir de la ecuación (13) es diferente, y probablemente tiene algo que ver con mayor tensor de poderes de $\mathfrak{g}$, pero yo simplemente no podía llegar a una definición significativa. Este es embarassingly confuso.

Answer 1

1. Un clásico de $R$-matriz $r\in \mathfrak{g}\otimes \mathfrak{g}$ es un elemento de la 2ª tensor de energía de un álgebra $\mathfrak{g}$ (formalmente la ampliación de la álgebra con unidad de elemento ${\bf 1}$).

   La notación $r_{k\ell}\in \mathfrak{g}\otimes \mathfrak{g}\otimes \mathfrak{g}$ para un elemento de la 3ª tensor de energía significa que $r$ pertenece a la $k$'th y $\ell$'th copia del álgebra $\mathfrak{g}$, y uno debe plug ${\bf 1}$ en el resto de la copia. (Si $k>\ell$ esto implica una transposición.)

2. La notación para el cuántica $R$-matriz $$R~=~{\bf 1}\otimes{\bf 1} +\hbar r +{\cal O}(\hbar^2)$$ y el quantum de Yang-Baxter ecuación es similar.

3. Ver también los relacionados con la Sweedler la notación.