¿Cómo podemos definir la distancia entre dos líneas o planos que se intersecan? Dado que no puede ser definido injectively para cada punto, se define en tal caso?
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CodeMonkey1313
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Como se señaló en los comentarios y en otras respuestas, la distancia entre ellos en el sentido habitual es $0$. Otra manera de medir "la distancia" que son es utilizar el ángulo entre ellos. Que sería de $0$ si eran idénticas, y $\pi/2$ si fueran perpendiculares. Tal vez sería útil en su aplicación.
Jonas
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En esta situación es mejor utilizar la distancia en el colector de Grassmann. En primer lugar, dado un conjunto $E \subset \mathbb R^p$$v \in \mathbb R^p$, vamos $$ d(v,E)=\inf \big\{\lVert v-w \rVert: w \E \big\}. $$ Entonces, dados los subespacios $E,F \subset \mathbb R^p$, podemos definir $$ d(E,F)=\max \bigg\{ \max_{v \in E, \lVert v \rVert=1} d(v,F), \max_{w \F, \lVert w \rVert=1} d(w,E) \bigg\}. $$
PS: no Podemos usar los ángulos sin nada más, simplemente porque no definen a una distancia!
dmay
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rschwieb
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En un espacio métrico, dada una función de distancia $d$ en un espacio de $X$, se acostumbra a definir la distancia entre dos subconjuntos no vacíos $A,B$$X$$d(A,B)=\inf(\{d(a,b)\mid (a,b)\in A\times B\})$.
En el caso especial de ordinario la distancia Euclídea, y dos subconjuntos que comparten un punto de $x$, el mínimo sería alcanzado por $d(x,x)=0$.
Pero el uso de esta definición, dos conjuntos son disjuntos también puede tener $d(A,B)=0$. Por ejemplo, si $A=\{(a,0)\mid 0<a<1\}$$B=\{(1,0)\}$.
