Hartshorne Ejercicio II. 6.3

Question

He vuelto este ejercicio durante un rato, y me parece estar atascado en particular en la parte (c). La pregunta es:

Deje $V$ ser una variedad proyectiva en $\mathbb{P}^n$ de la dimensión de $\geq 1$ y nonsingular en codimension $1$. Deje $X$ ser afín cono sobre $V$$\mathbb{A}^{n+1}$, e $\bar{X}$ es proyectivas de cierre. Deje $S(V)$ ser homogénea coordinar anillo de $V$. Espectáculo $S(V)$ es un UFD si y sólo si $V$ es projectively normal y $\text{Cl } V \simeq \mathbb{Z}$, generado por la clase de $V.H$

Puedo hacer una sola dirección. Es decir, si $S(V)$ es un UFD, entonces la siguiente secuencia exacta

$$\mathbb{Z} \to \text{Cl } V \to \text{Cl }X \to 0$$

puede ser modificado para $$0 \to \mathbb{Z} \to \text{Cl }V \to 0 $$ since $\texto{Cl }X$ is $0$, as $S(V)$ is also the coordinate ring of the cone $X$, and it is proven in the previous part that the map from $\mathbb{Z}$ es inyectiva. Esto demuestra el divisor condición. Sin embargo también es cierto que una UFD es integralmente cerrado, de manera proyectiva, la normalidad de la siguiente manera.

Lo que no se puede hacer es la otra dirección. Esto debe ser sólo una declaración acerca de álgebra conmutativa. Me gustaría utilizar el equivalente a condición de que todos los primos son los ideales principales, por ejemplo, pero no sé cómo relacionar este tema con el divisor del grupo de clase. Otro posible enfoque que podría ser prometedora es también equivalente a la condición de que el anillo de satisfacer el ascendente de la cadena de condición de director ideales (que es trivial, ya que el anillo que estamos tratando es ya Noetherian, como una variedad es finito, tipo de esquema sobre un campo y así es Noetherian) y cada irreducible es primo. Así que basta para comprobar que proyectivas de la normalidad y tener clase grupo de los enteros es suficiente para probar cada irreducible es primo.

Es este el camino correcto a seguir? Tal vez hay una mejor manera?

Answer 1

Tenemos las tres declaraciones siguientes; tenga en cuenta que la tercera es, probablemente, la conmutativa algebraicas resultado que usted estaba buscando.

1. $V$ es projectively normal si y sólo si $S(V)$ es integralmente cerrado de dominio, por definición, Ejercicio II.5.14).

2. $\operatorname{Cl} V \cong \mathbf{Z} \cdot V.H$ si y sólo si $\operatorname{Cl} X = 0$ por la corta secuencia exacta (b): $$0 \longrightarrow \mathbf{Z} \longrightarrow \operatorname{Cl} V \longrightarrow \operatorname{Cl} X \longrightarrow 0.$$

3. Si $A$ es un noetherian de dominio, a continuación, $A$ es un UFD si y sólo si $A$ es integralmente cerrado y $\operatorname{Cl} X = 0$ donde $X = \operatorname{Spec} A$ (Proposición II.6.2).

Ahora podemos probar (c). Por (1) y (2) anteriores, $V$ es projectively normal con $\operatorname{Cl} V \cong \mathbf{Z} \cdot V.H$ si y sólo si $S(V)$ es integralmente cerrado de dominio y $\operatorname{Cl} X = 0$. Pero por (3), esto ocurre si y sólo si $S(V)$ es un UFD.