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¿Es la integral de Lebesgue con respecto a la medida de recuento lo mismo que la suma (en un conjunto arbitrario)?

TL:DR; Para conjuntos arbitrarios (no necesariamente contables) tenemos dos nociones: Integral de Lebesgue con respecto a la medida de conteo y suma de la familia indexada por este conjunto. ¿Son equivalentes estas dos nociones?


Para un conjunto arbitrario $X$ podemos definir medida de recuento simplemente poniendo $\mu(A)=|A|$ . (Es decir, si $A$ es finito entonces $\mu(A)$ es simplemente el número de elementos de $A$ ; de lo contrario, es $+\infty$ .) De esta manera obtenemos un $\sigma$ -medida aditiva en $\mathcal P(X)$ y es posible trabajar con Integral de Lebesgue con respecto a esta medida.

Si la integral $$\int f \;\mathrm{d} \mu$$ de una función $f\colon X\to\mathbb R$ existe, es natural interpretar esta integral como una suma de los valores $f(x)$ sobre todo $x\in X$ .


También existe una noción (más o menos estándar) de suma de valores en un conjunto dado que incluye conjuntos incontables. Permítanme recordar brevemente la definición. (A continuación añadiré algunos enlaces a otras entradas de este sitio donde se puede encontrar esta definición).

Definición. Dejemos que $f\colon X\to\mathbb R$ sea una función y $S\in\mathbb R$ . Decimos que $$\sum_{x\in X} f(x) = S$$ si y sólo si para cada $\varepsilon>0$ existe un conjunto finito $F_0$ tal que para todos los conjuntos finitos $F\supseteq F_0$ tenemos $\left| \sum\limits_{x\in F} f(x) - S \right| < \varepsilon$ . $$(\forall \varepsilon>0) (\exists F_0\text{ finite }) \left(F\text{ is finite and }F\supseteq F_0 \Rightarrow \left| \sum\limits_{x\in F} f(x) - S \right| < \varepsilon \right)$$

Algunas observaciones adicionales:

  • Podemos modificar la definición anterior de forma natural para poder decir cuando $\sum f(x)=+\infty$ y $\sum f(x)=-\infty$ .
  • Si trabajamos con valores no negativos, es decir, $f(x)\ge0$ entonces obtenemos una definición equivalente mucho más sencilla $$\sum_{x\in X} f(x) = \sup \{\sum_{x\in F} f(x); F\text{ is finite}\}.$$
  • Este tipo de suma también se define en el artículo de Wikipedia sobre series: Sumas sobre conjuntos de índices arbitrarios ( revisión actual ).
  • Esta definición puede interpretarse muy bien utilizando la convergencia de las redes. Tomamos el conjunto dirigido formado por subconjuntos finitos de $X$ ordenados por inclusión. Para cada uno de estos conjuntos finitos tenemos el valor $s_F=\sum_{x\in F} f(x)$ . La suma definida anteriormente es igual a $S$ si $S$ es el límite de esta red.
  • Con esta definición, la distinción entre convergencia condicional y absoluta deja de tener sentido. (Lo cual es natural, ya que no tomamos ningún tipo de ordenamiento en $X$ en cuenta). En particular, en el caso $X=\mathbb N$ esto corresponde a la definición de suma de absolutamente convergente serie. (Al menos si trabajamos con valores reales. En contextos más generales, puede ocurrir que convergencia incondicional y convergencia absoluta puede ser diferente. Esta definición de suma corresponde a la convergencia incondicional).
  • Se puede demostrar una variante del criterio de Cauchy para dichas sumas.
  • La misma definición puede utilizarse en contextos más generales. (Probablemente siga siendo necesario que la estructura sea al menos un grupo topológico si se espera que la suma se comporte razonablemente).

Pregunta. ¿Es la suma definida anteriormente equivalente a la noción de integral de Lebesgue con respecto a la medida de recuento?

En particular, me gustaría saber:

  • ¿Surgen algunos problemas si trabajamos con conjuntos incontables, en lugar de sólo con los contables?
  • ¿Hay algún problema específico si también permito valores negativos?

Les agradecería a ambos las referencias a algunos textos que traten la relación entre estas dos nociones. Y, por supuesto, una prueba (o un esbozo de prueba) si es lo suficientemente sencilla como para que quepa en un post en este sitio.


He comprobado si se menciona algo al respecto en el artículo de la Wikipedia Medida de recuento . Este tipo de suma se menciona allí, pero en un contexto ligeramente diferente. El revisión actual del artículo de la Wikipedia dice que:

La medida de recuento es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función $f \colon X \to [0, \infty)$ define una medida $\mu$ en $(X, \Sigma)$ a través de $$\mu(A):=\sum_{a \in A} f(a)\, \forall A\subseteq X,$$ donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el sup de las sumas sobre todos los subconjuntos finitos, es decir, $$\sum_{y \in Y \subseteq \mathbb R} y := \sup_{F \subseteq Y, |F| < \infty} \left\{ \sum_{y \in F} y \right\}.$$ Tomando $f(x)=1$ para todos $x$ ' en $X$ produce la medida de recuento.


Algunos enlaces relacionados:

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De vez en cuando me he preguntado esto. ¡Gran post! Espero que alguien pueda responder afirmativamente. Aquí hay una pregunta posiblemente tonta. ¿Podría considerar algún espacio de Banach y trabajar esto allí ya que la convergencia absoluta e incondicional podría ser diferente?

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@CameronWilliams Definitivamente la noción de suma sobre un conjunto arbitrario se puede definir de la misma manera en los espacios de Banach. (De hecho, esto se hace en algunas de las referencias dadas en esta respuesta . Por ejemplo, Dixmier trabaja con espacios normados). Como no sé mucho sobre la integración de funciones vectoriales, no puedo decir si existe la posibilidad de que la pregunta que he formulado tenga también sentido en ese contexto. Es decir, si podríamos tratar la suma como algún tipo de integral. (Pero mi opinión sería que probablemente sí).

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failexam Puntos 90

Si $f$ es no negativo, entonces el hecho de que $$\sum_{x\in X} f(x) = \sup \{\sum_{x\in F} f(x); F\text{ is finite}\}$$ nos dice que $\int_X f=\sum\limits_{x \in X} f$ por definición de la integral de Lebesgue como la $\sup$ de la integral de funciones simples inferiores (no exactamente por definición, pero toda función simple $\sum\limits_{x \in F}s(x)\chi_{\{x\}}$ que es inferior a $f$ es inferior a $\sum\limits_{x \in F}f(x)\chi_{\{x\}}$ por lo que el sup de la definición de la integral de Lebesgue en este caso es igual al $\sup$ arriba).

Así, si $f$ es integrable, se cumple que $\int_X f=\sum\limits_{x \in X} f$ .*

Si $f$ no es integrable, entonces wlog podemos suponer que $\int_X f^+=+\infty$ . Esto implica que existe un conjunto contable $C$ dentro de $X$ en el que $f$ es positivo y $\sum\limits_{x \in C}f(x)=+\infty$ .

Así, dado cualquier $S \in \mathbb{R}$ , dado $\epsilon=1$ y cualquier $F_0 \subset X$ podemos tomar un finito lo suficientemente grande $F'$ (que puede tomarse disjunta de $F_0$ ) en el interior $C$ tal que $\sum\limits_{x \in F'}f(x) >S+1-\sum\limits_{x \in F_0} f(x)$ y por lo tanto \begin{align*} \sum_{x \in F' \cup F_0} f(x)&=\sum_{x \in F'} f(x)+\sum_{x \in F_0} f(x)>S+1, \end{align*} contradiciendo la definición de $\sum\limits_{x \in X} f(x)=S$ .

De ello se desprende que $f$ es integrable si y sólo si es "sumable", en el sentido que usted define en su Definición .

*Para que esto se cumpla, tenemos que demostrar que si $\sum\limits_{x \in X} f^+=S_1$ y $\sum\limits_{x \in X} f^-=S_2$ entonces $\sum\limits_{x \in X} f=S_1-S_2$ .

Dejemos que $\epsilon>0$ . Tome un conjunto finito $F_0$ para $f^+$ y $F_1$ para $f^-$ correspondiente a $\epsilon/2$ con respecto a la definición de sumable. Nótese que podemos tomarlas como disjuntas, ya que provienen de las partes positiva y negativa. Ahora, dejemos que $F \supset F_0 \cup F_1$ sea finito. Entonces \begin{align*} |\sum_{x \in F}f-S_1+S_2|&= |\sum_{x \in F-F_1}f-S_1+\sum_{x \in F_1}f+S_2|\\ &< \epsilon, \end{align*} como se desee.


Alternativamente, podemos demostrar que $f \in L^1(X)$ implica que $f$ es sumable reduciendo al caso contable.

Tenga en cuenta que $\operatorname{supp} f :=\{x \in X \mid f(x) \neq 0\}$ es como máximo contable. Esto se deduce al considerar $X_n:=\{x \in X \mid |f(x)| \geq 1/n\}$ , ya que entonces $$\operatorname{card} X_n \leq \int_{X_n} |nf| = n\int_X |f|<\infty. $$ Desde $\operatorname{supp} f=\bigcup X_n,$ se deduce que es contable. Por lo tanto, $f$ al ser integrable nos permite reducir al caso contable e inferir el resultado de que $f \in L^1(X) \implies f$ es sumable.

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Gracias por la respuesta. Sólo para aclarar: en toda la respuesta se trabaja sólo con no negativo $f$ ? Por sumable/integrable quieres decir que existe finito ¿suma/integración?

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@Martin Sleziak No, en la primera parte de la respuesta trabajo con no negativos $f$ . En la última parte (cuando supongo que $f$ no es integrable), no restrinjo a los no negativos $f$ . Sin embargo, ahora veo un punto que no había visto antes: el paso "Así, si $f$ es integrable, se cumple que $\int_X f=\sum\limits_{x \in X} f$ " no está tan justificado. Habría que demostrar una separación similar de la suma que defines en partes positivas y negativas. Voy a tratar de abordar esto ahora.

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No entiendo por qué $\operatorname{card}X_n=\int_{X_n}\vert nf\vert.$ Si se utiliza la medida de conteo, tenemos $\operatorname{card}X_n=\int_{X}1_{X_n}(x)d\mu(x).$ ¿Puede explicarlo? Gracias

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