Británico de Matemáticas Olimpiada (BMO) 2005 Ronda 1 Pregunta 1 ¿cómo avanzar?

Question

La pregunta es la siguiente:

Cada uno de Pablo y Jenny tiene un número entero de kilos. Él le dice a ella: "Si usted me da £3, tendré $n$ veces más de lo que usted". Ella le dice: "Si usted me da £$n$, voy a tener 3 veces como mucho como usted".

Dado que el $n$ es un entero positivo, ¿cuáles son los posibles valores de $n$?

Comenzamos por la representación de Pablo y de Jenny cantidades por $x,y$ respectivamente.

Entonces tenemos:

$x+3 = n(y-3)\\y+n = 3(x-n)$

Después de algunas manipulaciones podemos llegar a:

$n = (x+3)/(y-3) = (3x-y)/(4)$

Si dejamos $y-3 = 4$ $x+3 = 3x-y$ obtenemos una solución, pero más allá de eso no estoy muy seguro de cómo progresar.

Ideas generales sobre cómo abordar los problemas como este se agradece así como un poco de ayuda con la solución.

Answer 1

Primera nota de que tenemos algunos límites inferiores: No sólo se $x,y,n$ positivo, pero los montos $y-3$ $x-n$ también debe ser positiva. De hecho, si $y=4$, obtenemos $x=n-3$, contradiciendo $x>n$; llegamos a la conclusión de que $y\ge 5$

Enchufar el valor de $x$ desde la primera a la segunda ecuación, obtenemos $$\tag1y+n=3(n(y-3)-3-n) $$ que podemos reorganizar en las siguientes ecuaciones equivalentes, donde vemos por primera vez expandir y llevar a todos a un lado y, a continuación, jugar a encontrar un producto de factores lineales que se asemeja a el total de los tan de cerca como poyyible: $$\tag23yn-13n-y-9=0.$$ $$\tag3(y-4)(3n-1)=n+13$$ $$\tag4(y-5)(3n-1)=14-2n.$$ Especialmente $(4)$ aumenta nuestro interés: Ya sabemos que $y\ge 5$. Por tanto, el lado izquierdo es no negativo, y debemos tener $14-2n\ge 0$, i.., $n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Para cada uno de estos casos, se puede calcular el $y=\frac{14-2n}{3n-1}+5$ y, a continuación,$x=n(y-3)-3$: $$\begin{matrix} n=1,&y=11,&x=5\\ n=2,&y=7,&x=5\\ n=3,&y=6,&x=6\\ n=4,&y\notin \Bbb N\\ n=5,&y\notin \Bbb N\\ n=6,&y\notin \Bbb N\\ n=7,&y=5,&x=11\\ \end{de la matriz}$$ entre las que podemos detectar con precisión cuatro soluciones.

Answer 2

Creo que usted está tratando de buscar sólo en cómo $n$ se expresa en términos de que el resto de las variables. De hecho, este enfoque es bueno, pero se puede hacer con otras variables como bien! Así que vamos a intentar escribir $n$ en términos de $y$, eliminando $x$ de ambas ecuaciones.

De la primera, $x = ny-3n-3$. A partir de la segunda, $x = \frac{y+n}{3} + n$.

La combinación de estos, obtenemos $\frac{y+n}{3} + n = ny-3n-3$,por lo que multiplicando por $3$, $y+4n = 3ny-9n-9$. Aislar $n$ da $y + 9 = n(3y-13)$, y por lo tanto $$ n = \frac{y+9}{3y-13} $$

Tenga en cuenta que $n$ es un entero positivo. Si $y > 12$, $3y-13 > 22$ mientras $y + 9 < 22$, por lo que el $n$ no puede posiblemente ser un número entero! Además, $3y-13 < 0$ si $y < 5$, por lo que tenemos $5 \leq y \leq 11$.

Ahora podemos probar : $y = 5$ da $n = 7$$x = 11$, que funciona.

$y = 6$ da $n = 3$$x = 6$, que funciona.

$y = 7$ da $n = 2$$x = 5$, que funciona.

$y = 8,9,10$ no funcionan. Finalmente, $y = 11$ da $n = 1$ $x = 5$ que funciona.

Finalmente, $n = 1,2,3,7$.

Concluyendo, la diferencia de enfoque fue en el aislamiento de una variable distinta de la de $n$. Recuerde que todas las variables están relacionadas de una manera tal que conocer uno de los medios que usted sabe el resto, por lo que fue suficiente para lidiar con ninguna de las variables. Por último, las expresiones que involucran $\frac{ay+b}{cy+d}$ son restrictivas si los enteros, al $a,c$ son pequeñas.