Me parece que si estoy pintando en áreas sombreadas en exceso,

Question

Encontrar $f'(0)$ si $f(x)+f(2x)=x\space\space\forall x$

Si asumimos $f'(0)\in\mathbb R$, entonces, evidentemente, $f'(0)=\frac{1}{3}$.

Pero, ¿y si no suponemos que la derivada existe?

Me hacen esta pregunta cuando estoy tomando un examen, y entonces le pregunté a la profesora acerca de si existen $f$ tal que $f'(0)$ no existe, pero cumple la condición, pero él dice que él piensa tanto existe o no es probable...

Lo que he intentado:

Si $f(x)+f(2x)=x\space\space\forall x\in\mathbb R$, $f(x)=\frac{x}{3}$ es la única buena función que he pensado hasta$.

Si nos restringimos $dom(f)\in\mathbb R$, yo creo que cualquier polinomio además de a $\frac{x}{3}$ no satisface la condición, y tantos como $\vert x\vert$ no ayuda a ninguno de los dos.

Por otro lado, he tratado de pensar acerca de la equivalencia de las declaraciones con $f(x)+f(2x)=x\space\space\forall x$ a fin de acreditar $f$ debe ser de un tipo específico de problemas.t.$f'(0)$ existe.

$f(2x)+f(4x)=2x$, lo $f(4x)-f(x)=x$.

En general, $$f(2^{2^n}x)-f(x)=x\prod_{k=1}^{n-1}(2^{2^k}+1)\forall n\in\mathbb N, x\in\mathbb R$$

Pero no creo que te sea de ayuda.

Podemos encontrar $f(2x)-f(x)$ por condición dada? Yo aun no tener una idea. Pero mientras estoy pensando en ella, observo que $g(x)=f(2x)-f(x)$ está en sus propias satisfacciones $g(2x)+g(x)=x$.

Va a pensar acerca de $f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ\dots$ ser útil? $f\biggl(f(x)+f(2x)\biggr)+f\biggl(2\bigl(f(x)+f(2x)\bigr)\biggr)=x\space\space\forall x$

Cualquier ayuda se aprecia. Gracias!

Answer 1

Considere la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{}\sin(\pi\log_2(|x|))+\frac x3&\text{if }x\ne0\\ 0&\text{if }x=0\end{array}\right. $$ Es decir, las condiciones dadas no implica que $f'(0)$ existe.

Answer 2

Nos encontramos con $f(0)=0$. En $\Bbb R\setminus \{0\}$ podemos definir la relación $$x\sim y\:\iff \exists k\in\Bbb Z\colon x=2^ky. $$ Esta es una relación de equivalencia y de cada clase de equivalencia tiene exactamente un representante en $A:=[1,2)\cup(-2,-1]$. Claramente, podemos encontrar $f$ satisfaciendo las condiciones de la declaración del problema, definiéndolo de forma arbitraria en $A$ y entonces se extiende el uso de la ecuación funcional. Tenga en cuenta que, a continuación, la función de $g(x):=f(x)-\frac x3$ obedece a la funcional de la ecuación de $g(x)+g(2x)=0$ y que, en consecuencia, $|g(x)|$ es constante en las clases de equivalencia de a $\sim$. En particular, si por alguna $a\in A$ tenemos $g(a)\ne 0$, se deduce que el $g(4^{-n}a)=g(a)$ $g(2\cdot 4^{-n}a)=-g(a)$ todos los $n$ y, por tanto, $\lim_{x\to 0}g(x) $ no existe; en consecuencia, $g'(0)$ $f'(0)$ no existe en esa situación. En otras palabras, si asumimos que $f$ (y, por tanto,$g$) es continua en a $x=0$, se deduce que el $g\equiv 0$$f(x)=\frac x3$. Todos los demás a partir de las definiciones de $f$ $A$ conducir a una función no diferenciable o incluso continua en $x=0$. Tenga en cuenta que es posible lograr ese $x=0$ es la única discontinuidad de $f$, uno sólo tiene que coincidir con el intervalo de extremos tan suavemente como se desee.

Answer 3

$f(x)$ se divide en subconjuntos independientes definido por la relación de equivalencia $a = b$$\exists k : 2^k \cdot a = b$.

Esto es debido a dos reorderings de la ecuación original, que pueden repetirse:

$$f(2x) = x - f(x)$$ $$f(x/2) = x/2 - f(x)$$

Let $f(1) = 1$ by definition. Then we have iteration:

0.5 -0.5
0.25 0.75
0.125 -0.625
0.0625 0.6875
0.03125 -0.65625
0.015625 0.671875
0.0078125 -0.6640625
0.00390625 0.66796875
0.001953125 -0.666015625

It is clear that there is no derivative at $f(0)$.