¿La suma de dígitos de$\left(16^k - 1\right)$ es menor que$6k$ para$k > 223$?

Question

Yo había estado investigando la OEIS secuencia A165722, que es la secuencia de enteros positivos $k$ tales que la suma de los dígitos de $\left(16^k - 1\right)$ es igual a $6k$. He utilizado la potencia de cálculo para determinar que la suma de los dígitos es menor que $6k$$223 < k < 10^6$. He hecho una conjetura que se $6k$ seguiría creciendo a un ritmo más rápido que la suma de dígitos, y por lo tanto la secuencia es finito. Yo y varios otros, sin embargo, no estaban seguros de cómo uno podría ir a probar este. Pensé que tal vez habría alguna manera de mostrar una regularidad en los dígitos de $16^k - 1$, pero yo no sé cómo ir sobre la búsqueda o probar esta regularidad.

Answer 1

Algunas estimaciones preliminares. A partir de este libro, página 79 (accesible en modo de vista previa) $$S(16^n-1)=16^n-1 - 9\sum\limits_{k\geq1} \left \lfloor \frac{16^n-1}{10^k} \right \rfloor \tag{1}$$

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Más $$S(16^n-1)= 16^n-1 - 9\sum\limits_{k\geq1} \left(\frac{16^n-1}{10^k}-\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}\right)=\\ 16^n-1 - 9\sum\limits_{k\geq1} \frac{16^n-1}{10^k}+9\sum\limits_{k\geq1}\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}=\\ (16^n-1)\left(1 - 9\sum\limits_{k\geq1} \frac{1}{10^k}\right)+9\sum\limits_{k\geq1}\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}=\\ (16^n-1)\left(1 - 9\left(\frac{10}{9}-1\right)\right)+9\sum\limits_{k\geq1}\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}= 9\sum\limits_{k\geq1}\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}$$ O $$S(16^n-1)=9\sum\limits_{k\geq1}\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}\tag{2}$$

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El último dígito de la $16^n-1$ siempre $5$ y $$\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}=0.\overline{a_1a_2...a_{k-1}5} \leq 0.99..95<1$$ $9$ repitió $k-1$ veces. Pero sólo para el primer $n\log_{10}16$ términos. Para todos los $k>n\log_{10}16$ $$\left\{\frac{16^n-1}{10^k}\right\}\leq 0.00..099..95$$ donde $00..099..9$ es de longitud $k-1$. Básicamente, comenzando con $k\geq \left \lfloor n\log_{10}16 \right \rfloor+1$ esta cola forma una progresión geométrica infinita con relación $\frac{1}{10}$ suma una constante. Lo que podemos concluir $$S(16^n-1) < 9n\log_{10}16 + C$$ También tenemos que $9\log_{10}16<11$, lo que $$S(16^n-1) < 11n+ C \tag{3}$$ Probablemente, con los cálculos más precisos, una mejor estimación puede obtenerse ... trabajo en progreso.

Answer 2

No tengo una pc de rendimiento, pero puede ejecutar este programa en un compilador de Python, y modificar el intervalo de la búsqueda de k, esperar (puede tomar mucho tiempo) para buscar ak, que la suma de dígitos de ese número> 6 * k (solo si presupunere = 0)

  presupunere = None
 p = None
 i = None
 n = None
 s = None

 def upRange(start, stop, step):
    while start <= stop:
        yield start
    start += abs(step)

 def downRange(start, stop, step):
     while start >= stop:
         yield start
     start -= abs(step)

 presupunere = 1
 p = 10 ** 50
 for i in (10000 <= float(p)) and upRange(10000, float(p), 1) or 
         downRange(10000, float(p), 1):
     n = 16 ** i - 1
     s = 0
     while n != 0:
         s = s + n % 10
         n = n // 10
     if s > 6 * i:
         presupunere = 0
     if i % 1000 (10^3) == 0:
         print(i // 1000(10^3))
     if presupunere == 0:
         print(presupunere)