Pregunta de ecuación funcional del MAT de Oxford

Question

Aquí está la pregunta 1 del Oxford MAT 2014. J). El problema consiste en encontrar $\int_{-1}^1 \! f(x) \, \mathrm{d}x $ dado que f(x) satisface

$ 6+f(x)=2f(-x) +3x^2 \int_{-1}^1 \! f(t) \, \mathrm{d}t. $

para toda x real. Los examinadores resuelven el problema integrando la identidad anterior de 1 a -1, dando

$ 12+ \int_{-1}^1 \! f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \int_{-1}^1 \! f(x) \, \mathrm{d}x +[x^3]^1_{-1} \int_{-1}^1 \! f(x) \, \mathrm{d}x $ .

Observando que $\int_{-1}^1 \! f(x) \, \mathrm{d}x=\int_{-1}^1 \! f(-x) \,\mathrm{d}x$ ya que reflejar la función en el eje y no cambia el área entre la función y el eje x. Luego continúan sustituyendo $A=\int_{-1}^1 \! f(x) \, \mathrm{d}x$ y resolver la ecuación lineal resultante para A.

Ahora no entiendo qué pasa en la línea 2 con la ecuación original. Más concretamente qué ocurre con $\int_{-1}^1 \! f(t) \, \mathrm{d}t$ ? ¡Gracias por cualquier ayuda! También agradecería que me dirigieran a preguntas similares, ¡gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $\int_{-1}^{1}f(t)dt$ es una constante porque la integral tiene límites numéricos.

Esto significa que $\int_{-1}^{1}f(t)dt$ es análogo a $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

Así, al integrar el conjunto, se trata esa parte como una constante, que sigue siendo la misma después de la integración.