Este es el típico borracho problema en el que la persona se limita a mover hacia el Norte, Sur, Este u Oeste, pero nunca en diagonal con un solo paso. Un paso tiene una longitud de $L$. ¿Cuál es la probabilidad de que el borracho nunca va a salir de un círculo de radio $2L$ después $N$ pasos?
Obviamente, la probabilidad es cero para $N=1$$N=2$. Para $N=3$, yo tengo que ser $3/4$ aunque no estoy seguro de si esto es correcto. Para $N>3$, estoy perdido.
Después de un número impar de pasos, estarás en un punto $(0,\pm 1)$, $(\pm 1,0)$, o fuera del círculo. Sólo se puede cruzar el círculo en un extraño paso. Si comienzas a uno de esos $(0,\pm 1)$, $(\pm 1,0)$ puntos, entonces usted tiene una probabilidad de $\frac14 \times 1 + \frac12 \times \frac12 + \frac14 \times \frac14 = \frac{9}{16}$ de no salir del círculo en los dos pasos siguientes.
Después de $N=1$ paso, la probabilidad de no haber dejado el círculo es, como usted dice, $1$. Así, por $N=3$$\frac{9}{16}$, y, a continuación, seguir multiplicándose por $\frac{9}{16}$ cada dos pasos.
Así que después de $N$ pasos de la probabilidad de no haber dejado el círculo es $\left(\frac{9}{16}\right)^{\lfloor(N-1)/2\rfloor}$ positivos $N$.
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