La recuperación de los dos $SU(2)$ matrices a partir de las$ SO(4)$ matriz

Question

Ya que hay un $2$-$1$ homomorphism de $SU(2)\times SU(2)$ $SO(4)$no debe ser una manera de recuperar los dos $SU(2)$ matrices dada una $SO(4)$ matriz.

Yo creo que se podría definir como un sistema de ecuaciones utilizando el mapa desde arriba y resolver para los coeficientes de la $SU(2)$ matrices. Sin embargo, me pregunto si alguien ya ha hecho esto o puede que me señale las fórmulas?

Answer 1

Una manera de pensar en la 2-a-1 mapa de $SU(2)\times SU(2)$ es a través de cuaterniones. Respecto a$\mathbb{R}^4$$\mathbb{H}$, el conjunto de los cuaterniones, y $SU(2)$ como el grupo de la unidad (es decir, la norma $1$) cuaterniones. A continuación, $SU(2)\times SU(2)$ actúa en $\mathbf{H}$ por las rotaciones de la siguiente manera: $$h\mapsto q_1 hq_2^{-1}$$ es una rotación de $\mathbb{R}^4=\mathbb{H}$ $q_1$, $q_2\in SU(2)$. A continuación, $(-q_1,-q_2)$ representa la misma rotación que $(q_1,q_2)$.

Supongamos que tenemos una rotación $\phi$$\mathbb{H}$. Si $\phi$ corrige $1$, es, efectivamente, una rotación de la $\mathbb{R}^3$ distribuido por $i$, $j$ y $k$ y es representado por el par $(q,q)$ donde $q=\cos(t/2)+h\sin(t/2)$ donde $h=ai+bj+ck$ es un vector unitario a lo largo del eje de rotación, y $t$ es el ángulo de rotación.

En general, vamos a $q'$ ser la unidad de cuaterniones definido por $\phi(1)$. A continuación, $\psi:h\mapsto q'^{-1}\phi(1)$ es una rotación de fijación $1$, de modo que uno puede encontrar una cuádrupla $q$ tal que $(q,q)$ es $\psi$. A continuación, $(q'q,q)$ es $\phi$.

Answer 2

Aquí empieza a calcular la fórmula. Lo primero es entender el mapa de $SU(2)\times SU(2)\to SO(4)$. Deje $std$ el valor del estándar de 2 dimensiones representación compleja de $SU(2)$. Luego la externa producto tensor $V=std\otimes std$ natural 4-dimensional de la representación compleja de $G=SU(2)\times SU(2)$. En concreto, está dado por el homomorphism $G\to GL(V)=GL_4(\mathbf{C})$ envío de $(g,h)\in G$ con el producto de Kronecker" $g\otimes h$, que es el de la matriz de $g\otimes h$ con respecto a la base de la $V=\mathbf{C}^2\otimes \mathbf{C}^2$$e_1\otimes e_1, e_1\otimes e_2, e_2\otimes e_1, e_2\otimes e_2$, $e_1,e_2$ el estándar de base para $\mathbf{C}^2$. Ahora el estándar de representación de $std$ realmente tierras en $SL_2(\mathbf{C})$, ya que el $SU(2)\subset SL_2(\mathbf{C})$. Pero $SL_2(\mathbf{C})=Sp_2$, lo que significa que el estándar de representación de $std$ es auto-dual, y por lo tanto $\mathbf{C}^2$ $SU(2)$- invariante, anti-simétrica de la forma bilineal. Concretamente, esto se tarda un par de vectores columna $v,w\in \mathbf{C}^2$ a el determinante de la matriz con columnas $v,w$. Llamar a esta forma bilineal $\omega:std\otimes std\to \mathbf{C}$. Luego la externa producto tensor $\omega\otimes \omega:V\otimes V\to \mathbf{C}$ da $G$-invariante \textit{simétrica} forma bilineal en $V$. En realidad, esta es una $SL_2(\mathbf{C})\times SL_2(\mathbf{C})$-invariante bilineal simétrica forma en $V$. Hemos demostrado que $SL_2(\mathbf{C})\times SL_2(\mathbf{C})$ realmente tierras en $SO(q)(\mathbf{C})$ por cierto de 4 dimensiones cuadrática espacio de $(V,q)$. (Aquí se $q$ es la forma cuadrática asociada a la sim. bilineal forma $B=\omega\otimes\omega$.) Por el general Mentira teoría, esto implica que la máxima compacto $G$ $SL_2(\mathbf{C})\times SL_2(\mathbf{C})$ tierras en la máxima compacto $SO(q)(\mathbf{R})$.

Por supuesto, queremos un homomorphism $SU(2)\times SU(2)\to SO(4)$. Para ello debemos diagonalize $q$, sobre el número complejo. No es difícil comprobar que, con respecto al producto tensor de base para $V$ utilizábamos anteriormente, la forma cuadrática $q$ es igual a la (tal vez un múltiplo de) $wz-xy$. Es decir, si $v\in V$ tiene coordenadas $(w,x,y,z)$ con respecto al $e_i\otimes e_j$,$q(v)=wz-xy$. (Tenga en cuenta que este es el "determinante" de la forma cuadrática!) Usted puede diagonalize esta forma más de $\mathbf{C}$ con la matriz de cambio de base

M=

[1   i    0   0]

[0   0    i  -1]

[0   0    i   1]

[1  -i    0   0]'

a menos que la pata de la aritmética. Así, la conjugación de la representación $V$ por esta matriz (por lo tanto no cambiar el tipo de isomorfismo de la repn), se obtiene un homomorphism $SL_2(\mathbf{C})\times SL_2(\mathbf{C})\to SO(4,\mathbf{C})$ aterrizaje en el estándar de 4-dimensional especial ortogonal grupo sobre los números complejos. Ahora la máxima compacto $G$ tierras en el habitual grupo de $SO(4)$, y esto le da el doble de la cubierta se hace referencia en la pregunta.

En resumen, creo que el 2-1 mapa de $SU(2)\times SU(2)\to SO(4)$ se da explícitamente en las matrices de tomar el producto de Kronecker y, a continuación, la conjugación de por $M$. Si yo no cometí un error, uno debe encontrar, en particular, que la condición de ser en $SU(2)$ fuerzas de un par de $(g,h)$ real de la matriz de entradas en este mapa! No he molestado en comprobarlo.

OK, entonces, ¿cómo es que en realidad vamos a encontrar el 2 preimages de cada matriz de rotación en $SO(4)$? Supongo que equivale a resolver un montón de ecuaciones no lineales, por lo que es totalmente asqueroso y poco práctico. Para obtener una buena respuesta a tu pregunta, es necesario analizar la estructura de $SU(2)$ e de $SO(4)$. El segundo se describe minuciosamente en la página de Wikipedia para $SO(4)$. El primero es bastante simple y está bien descrito en M. Artin el libro de Álgebra. EDIT: he borrado un montón de cosas que Jason observó en un comentario es totalmente falsa. Afortunadamente Robin dio otra respuesta mejor que se explica cómo hacer esto usando cuaterniones.

Answer 3

En términos de SU(2) = unidad de cuaterniones, la respuesta puede encontrarse en las secciones "Isoclinic descomposición" y "Relación con cuaterniones" de la Wikipedia artículo sobre SO(4). (Esto es equivalente a Robin Chapman respuesta, supongo, pero las fórmulas son un poco más explícito.)