Recogiendo $4$ bolas de $16$ bolas. La posibilidad de obtener exactamente $2$ diferentes colores?

Question

Supongamos $4$ bolas serán seleccionados al azar de una colección de $4$ bolas rojas, $4$ bolas azules, $4$ bolas amarillas, y $4$ bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los colores que va a estar presente?

Intento De Solución:

Recogiendo $2$ grupos de colores de la $4$ y, a continuación, recoger $4$ bolas de las $8$ bolas de:

$4\choose2$$\frac{8\choose{4}}{16\choose4}$

Pero luego hay casos en los que los cuatro bolas de bolas seleccionado de la $16$ son del mismo color:

$4\choose2$$\frac{8\choose{4}}{16\choose4}$ - $\frac{4\choose{1}}{16\choose4}$ = $.2286$.

Qué puedo hacer esto correctamente? Si es así, y tiene otro método, yo estaría interesado en ver que como de bien.

Answer 1

Mediante la selección de dos colores y escoger 4 de 8, podemos seleccionar 4 rojos en tres formas diferentes:

• Seleccione los colores rojo y azul y seleccione 4 rojos

• Seleccione los colores rojo y amarillo y seleccione 4 rojos

• Seleccione los colores rojo y verde, y se seleccionó a 4 rojos

Por lo tanto, contamos con una selección de 4 rojos tres veces. Este es el mismo para los otros 3 colores. Por lo tanto, el derecho de corrección es $3 \binom{4}{1}$. Esto le da una probabilidad de

$$ \frac{\binom{4}{2}\binom{8}{4} - 3 \binom{4}{1}}{\binom{16}{4}} = \frac{102}{455}. $$

Alternativamente, se puede observar que de las $\binom{8}{4}$ subconjuntos tenemos que elegir entre la selección de dos colores, 2 de ellos son inadmisibles. Por lo tanto podemos como alternativa llegado a esta respuesta como

$$ \frac{\binom{4}{2}\left[ \binom{8}{4} - 2 \right]}{\binom{16}{4}} = \frac{102}{455}. $$

Answer 2

Sugerencia:

Aquí r-rojo,b-azul,g-verde-y-amarillo Ahora los casos se $$\left( rbbb \right) \left( rrbb \right) \left( rrrb \right) \\ \left( ryyy \right) \left( rryy \right) \left( rrry \right) \\ \left( rggg \right) \left( rrgg \right) \left( rrrg \right) \\ \left( byyy \right) \left( bbyy \right) \left( bbby \right) \\ \left( yggg \right) \left( yygg \right) \left( yyyg \right) \\ \left( bggg \right) \left( bbgg \right) \left( bbbg \right) $$