Cómo evaluar la siguiente suma

Question

Estoy tratando de encontrar la integral definida de $a^x$ entre $b$ y $c$ como el límite de una suma de Riemann (donde $a > 0$):

$I = \displaystyle\int_b^c \! a^{x} \, \mathrm{d}x.$

Sin embargo, actualmente estoy atascado en la siguiente parte, para encontrar S:

$S = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle{a^{\displaystyle\frac{i(c-b)}{n}}}$

¿Hay una fórmula para este tipo de expresión? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sí, hay una fórmula. nota que $$a^{i(c-b)/n}=(a^{(c-b)/n})^i.$$ Por lo tanto, tu suma es solo una suma de una progresión geométrica.

Answer 2

Tenga en cuenta que:

$$\begin{align} S &= \sum\limits_{i=1}^n \displaystyle{a^{\displaystyle\frac{i(c-b)}{n}}} \\ &= \sum\limits_{i=1}^n \left(a^{\left(\dfrac{(c-b)}{n}\right)}\right)^i \end{align}$$ Ahora, podemos usar la forma finita de la fórmula de la serie geométrica: $$S = \frac{\left(a^{\left(\dfrac{(c-b)}{n}\right)}\right)-\left(a^{\left(\dfrac{(c-b)}{n}\right)}\right)^{n+1}}{1-a^{\left(\dfrac{(c-b)}{n}\right)}}$$

... y ese límite será bastante complicado, pero se puede hacer. (¡Creo!)

Answer 3

Esto podría ayudar. Supongamos $y = a^x$. Entonces $\ln(y) = x\ln(a)$. Diferenciando obtienes $${y'\over y} = \ln(a),$$ así que $$ y' = y\ln(a) = a^x \ln(a).$$ Por lo tanto $$\int a^x\, dx = {a^x\over \ln(a)} + C.

Answer 4

Corrígeme si me equivoco, pero parece que $a,b,c$ y $n$ son todos constantes dentro de esa suma. Así que $$ S = \sum_{i=1}^n a^{\frac{i(c - b)}{n}} = \sum_{i=1}^n \left(a^{\frac{c - b}{n}}\right)^i $$ que es simplemente una suma geométrica finita. Si definimos $r = a^{\frac{c - b}{n}}$, esto suma a $\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} - 1$.