Demostrando la relación: $∇(\mathbf{u}·\mathbf{v})=(\mathbf{v}·∇)\mathbf{u}+(\mathbf{u}·∇)\mathbf{v}+\mathbf{v}×(∇×\mathbf{u})+\mathbf{u}×(∇×\mathbf{v})$

Question

Tengo que demostrar la siguiente relación. Estoy buscando una solución más allá de lo obvio método de la fuerza bruta de considerar $\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k}\;and\;\mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}+v_3\mathbf{k}$ poniendo en estos valores y simplemente muestra que las dos partes lleguen a un mismo resultado a través de un largo y tedioso cálculo. Los pensamientos?

$$∇(\mathbf{u}·\mathbf{v})=(\mathbf{v}·∇)\mathbf{u}+(\mathbf{u}·∇)\mathbf{v}+\mathbf{v}×(∇×\mathbf{u})+\mathbf{u}×(∇×\mathbf{v})\;where\;\mathbf{u},\mathbf{v}\;are\;vectors$$

P. S: yo no estaba muy seguro de si he añadido la correcta etiquetas o no. Siéntase libre de agregar o quitar etiquetas como considere oportuno.

Answer 1

Un lugar de vainilla, si tedioso, de la aplicación de la asociatividad de la álgebra de clifford geométrica del producto y el grado de proyección consigue el trabajo hecho.

$$\langle \nabla (uv)\rangle_1 = (\nabla \cdot u) v + (\nabla \wedge u) \cdot v + (u \cdot \nabla) v - (u \wedge \nabla) \cdot v = \nabla (u \cdot v) + \nabla \cdot (u \wedge v)$$

Aplicar las BAC-CAB regla para el último término:

$$\nabla \cdot (u \wedge v) = (\nabla \cdot u) v + (u \cdot \nabla) v - (\nabla \cdot v) u - (v \cdot \nabla) u$$

Tenga en cuenta que el $(\nabla \cdot u) v + (u \cdot \nabla) v$ términos cancelar, pero algunos otros términos no:

$$\nabla (u \cdot v) = (\nabla \wedge u) \cdot v - (u \wedge \nabla) \cdot v + (\nabla \cdot v)u + (v \cdot \nabla) u$$

No hay mucho que hacer, pero atacar directamente a ese $(u \wedge \nabla) \cdot v$ plazo:

$$(u \wedge \nabla) \cdot v = (\nabla \cdot v) u - \dot \nabla (\dot v \cdot u)$$

Los puntos significa que $\dot \nabla$ diferencia sólo$\dot v$$\dot v \cdot u$; efectivamente, $u$ es "constante."

Genial, entonces, ¿qué es $\dot \nabla (\dot v \cdot u)$? Dejar calificación del proyecto de nuevo.

$$\langle (\nabla v) u \rangle_1 = (\nabla \cdot v) u + (\nabla \wedge v) \cdot u = \dot \nabla (\dot v \cdot u) + \dot \nabla \cdot (\dot v \wedge u) =\dot \nabla (\dot v \cdot u) + (\nabla \cdot v) u - (u \cdot \nabla) v$$

Poniendo que todos juntos nos da

$$(u \wedge \nabla) \cdot v = (\nabla \cdot v) u - (u \cdot \nabla) v - (\nabla \wedge v) \cdot u$$

Así que el resultado final es

$$\nabla (u \cdot v) = (\nabla \wedge u) \cdot v + (u \cdot \nabla) v + (\nabla \wedge v) \cdot u + (v \cdot \nabla) u $$

Por último, tenga en cuenta que la cuña y generalizado de los productos de puntos aquí están relacionados con los productos cruzados o curl así:

$$(\nabla \wedge u) \cdot v = [i(\nabla \times u)] \cdot v = i[ (\nabla \times u) \wedge v ] = -(\nabla \times u) \times v$$

Que nos permite recuperar la más conocida de resultado.

Answer 2

Vamos a hacer esto con el índice de la notación (mediante el convenio de sumación de Einstein).

NOTA: Por simplicidad, sólo voy a utilizar índices menores.

Así que tenemos $$[\nabla (A \cdot B)]_q = [\nabla (a_p b_p)]_q = \partial_q(a_pb_p) = \dot{\partial}_q\dot{a}_pb_p + \dot{\partial}_qa_p\dot{b}_p$$

Donde puedo utilizar la notación $\dot{\partial}_q\dot{a}_pb_p$ que $b_p$ se mantiene constante en este término. Podría ser una buena idea para señalar en este punto que ya hemos encontrado una identidad aquí porque $\dot{\partial}_q\dot{a}_pb_p = [JA]_{pq}b_p = [(JA)^T]_{qp}b_p$. Así tenemos a $[\nabla (A \cdot B)]_q = [(JA)^T]_{qp}b_p + [(JB)^T]_{qp}a_p \implies \nabla (A \cdot B) = (JA)^TB + (JB)^TA$ donde $JA$ es la matriz Jacobiana de campo vectorial $A$.

Pero vamos a seguir adelante porque no hemos conseguido la identidad que está supuesta a demostrar, sin embargo. No es inmediatamente obvio cómo reducir este lado más así que vamos a empezar en el lado derecho:

$$[(A \cdot \nabla)B + (B \cdot \nabla)A + A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A)]_q$$ $$= a_p\partial_pb_q+b_p\partial_pa_q+\epsilon_{qst}a_s(\nabla \times B)_t + \epsilon_{qst}b_s(\nabla \times A)_t$$ $$= \dot{\partial}_p a_p \dot{b}_q + \dot{\partial}_p \dot{a}_q b_p + \epsilon_{qst}a_s\epsilon_{tuv}\partial_ub_v + \epsilon_{qst}b_s\epsilon_{tuv}\partial_ua_v$$ $$= \dot{\partial}_p a_p \dot{b}_q + \dot{\partial}_p \dot{a}_q b_p + \epsilon_{tqs}\epsilon_{tuv}a_s\partial_ub_v + \epsilon_{tqs}\epsilon_{tuv}b_s\partial_ua_v$$ $$= \dot{\partial}_p a_p \dot{b}_q + \dot{\partial}_p \dot{a}_q b_p + (\delta_{qu}\delta_{sv} - \delta_{qv}\delta_{us})a_s\partial_ub_v + (\delta_{qu}\delta_{sv} - \delta_{qv}\delta_{us})b_s\partial_ua_v$$ $$= \dot{\partial}_p a_p \dot{b}_q + \dot{\partial}_p \dot{a}_q b_p + a_s\partial_qb_s-a_s\partial_sb_q + b_s\partial_qa_s - b_s\partial_sa_q$$ $$= \dot{\partial}_p a_p \dot{b}_q + \dot{\partial}_p \dot{a}_q b_p + \dot{\partial}_qa_s\dot{b}_s-\dot{\partial}_sa_s\dot{b}_q + \dot{\partial}_q\dot{a}_sb_s-\dot{\partial}_s\dot{a}_qb_s$$ $$= \dot{\partial}_p a_p \dot{b}_q + \dot{\partial}_p \dot{a}_q b_p + \dot{\partial}_qa_p\dot{b}_p-\dot{\partial}_pa_p\dot{b}_q + \dot{\partial}_q\dot{a}_pb_p-\dot{\partial}_p\dot{a}_qb_p$$ $$= \dot{\partial}_qa_p\dot{b}_p + \dot{\partial}_q\dot{a}_pb_p$$

Que es exactamente lo que se demostró que la PREPA se fue por encima. $\ \ \square$