Determinar si la serie $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac\pi2-\arctan n \right )$ converge o no.

Question

Quiero saber si la serie $\displaystyle{% \sum_{n=1}^{\infty }\left[{\pi \over 2} - \arctan\left(n\right)\right ]}$ converge o no.

Algunas series como $\sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac1n$, $\sum_{n=1}^{\infty}\tan \frac1n$ se resuelven mediante la prueba de comparación con $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$. Pero el de la serie no se compara con $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$. Hay otra manera de determinar si la serie converge o no?

Answer 1

Personalmente me gusta T. Bongers la mejor solución, pero un método más podrías probar es la integral de la prueba.

$$\sum_{k=1}^{\infty}\arctan{\frac{1}{k}}\geq\int_1^{\infty}\arctan{\frac{1}{x}}\,dx\\ =\left(x\arctan{\frac{1}{x}}\right)|_1^{\infty}+\int_1^{\infty}\frac{x}{1+x^2}dx\\ =1-\frac{\pi}{4}+\lim_{u\rightarrow\infty}\frac12\log{\frac{u^2+1}{2}}=\infty$$

Answer 2

Como ustedes saben, tenemos $\arctan n+\arctan \frac{1}{n}=\frac{\pi}{2}$. Es suficiente para mostrar que $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \arctan \frac{1}{n}\right )$ no converge.

Ya tenemos $\;\lim_{n \to \infty} \frac{\arctan(1/n)}{1/n}=1,\;$ por criterios de comparación, podemos concluir que esta serie no converge, como $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac 1n\;$ no converge.