Encuentra $a^{100}+b^{100}+ab$

Question

$a$ y $b$ son las raíces de la ecuación $x^2+x+1=0$.

¿Cuál es el valor de $a^{100}+b^{100}+ab$? Esto es lo que descubrí: $$a+b=-1$$ $$ab=1$$ ¡Pero cómo usar esto para encontrarlo no lo sé! Por favor, alguien responda a mi consulta.

Answer 1

Sea $\omega$ una raíz de $x^2+x+1=0$, entonces $\omega^3=1$. Así que $$ a^{100}+b^{100}+ab=a+b+ab. $$

Answer 2

Aquí hay una solución que no requiere destellos de inspiración.

$a^2+a+1=0$ implica $a^2=-a-1$ y así $a^3=-a(a+1)=-(a^2+a)=-(-a-1+a)=1$. Por lo tanto, $a^{100}=a^{99}a=(a^3)^{33}a=a$.

Lo mismo ocurre con $b$ y así $$ a^{100}+b^{100}+ab=a+b+ab=-1+1=0 $$

Answer 3

Las raíces de tu ecuación son $$x = -\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Tenemos $e^{\frac{2\pi i}{3}}$ y $e^{\frac{4\pi i}{3}}$, ambas que permanecen sin cambios en magnitud y dirección al elevarse a la potencia 100 como $e^{\frac{2\pi i}{3}} = e^{\frac{200 \pi i}{3}}$ y $e^{\frac{4\pi i}{3}} = e^{\frac{400 \pi i}{3}}$, lo que nos dice que $a^{100} = a$ y $b^{100} = b$ y así $a + b + ab = 0$.