Número de la teoría de la divisibilidad problema

Question

Para un entero $n > 1$, demostrar que $2^n - 1$ no divide $ 3^n - 1$.

He intentado hacer lo de los números primos en primer lugar, pero no tiene donde. Creo que podría conseguir si asumimos $k$ a ser el entero más pequeño tal que la divisibilidad se mantiene, y, a continuación, tratar de obtener una contradicción.

Answer 1

Como dijo Michael en los comentarios, si $n$ incluso $2^n-1$ es un múltiplo de tres, por lo que podemos suponer $n=2m+1$$m\geq 1$. Suponiendo que los números primos $p>3$ divide tanto a a$2^{2m+1}-1$$3^{2m+1}-1$,$p\equiv \pm 1\pmod{12}$$p\equiv \pm 1\pmod{8}$, ya que: $$ 2\cdot 4^m \equiv 3\cdot 9^m \equiv 1\pmod{p} $$ implica que tanto $2$ $3$ son residuos cuadráticos $\pmod{p}$. Sin embargo, $$ 2^{2m+1}-1 \equiv 7\pmod{12}, $$ lo que no es posible que cada prime $p>3$ que divide $2^{2m+1}-1$$\equiv \pm 1\pmod{12}$, por lo tanto $2^{2m+1}-1$ no se puede dividir $3^{3m+1}-1$.

Answer 2

Considerar dos casos:

$1)$ $n$ es aún, por lo tanto, podemos escribir la $n=2m$ ($m$ entero) y la expresión de $\frac {3^n-1}{2^n-1}= k$ ($k$ entero) se convierte en $$\frac {9^m-1}{4^m-1}= k$$ but we can write $$\frac {8(9^{m-1}+9^{m-2}+...+9+1)}{3(4^{m-1}+4^{m-2}+....+4+1)}=k$$ esta ecuación no ha de soluciones en números enteros. De hecho,$8\equiv 2\pmod 3$$9^{m-1}+9^{m-2}+...+9+1\equiv 1\pmod 3$.

$2)$ $n$ es extraño, por lo tanto, podemos escribir la $n=2m+1$ y la ecuación se convierte en $$\frac {3^{2m+1}-1}{2^{2m+1}-1}= k$$ and rewriting the quation: $$\frac {9^{m+\frac{1}{2}}-1}{4^{m+\frac{1}{2}}-1}=k$$ and then we can write $$\frac {3\cdot 9^m-1}{2\cdot 4^m-1}=k$$ and multiplying the numerator and denominator for $2$ we obtain:$$\frac {6\cdot 9^{m}-1}{4^{m+1}-1}=k$$ and rewriting the equation we obtain: $$\frac {6\cdot(9^m-\frac{1}{6})}{3\cdot(4^{m}+4^{m-1}+....+1)}=k$$ and rewriting $$\frac {53\cdot (9^{m-1}\cdot 6^{m-1}+9^{m-2}\cdot 6^{m-2}+...+9\cdot 6+1)}{3\cdot(4^{m}+4^{m-1}+....+1)\cdot 6^{m-1}}=k$$ but this equation hasn't solutions. Indeed $3$ isn't a divisor of $53$ and of $9^{m-1}\cdot 6^{m-1}+9^{m-2}\cdot 6^{m-2}+...+9\cdot 6+1$.

Poco de curiosidad

Teniendo en cuenta la equation$$\frac {9^{m+1}-1}{6\cdot (4^m-\frac {1}{6})}=k$$ therefore rewriting the equation:$$\frac {8(9^m+9^{m-1}+...9+1)}{23(4^{m-1}+4^{m-2}\frac {1}{6}+....+\frac {1}{6^{m-1}})}=k$$ but the only values that are multiple $23$ are multiple of $10$,$m=10q$ (with $q$ integer). Indeed $$9^2\equiv 12\pmod {23}, 9^3\equiv 16\pmod {23},9^4\equiv 6\pmod {23},9^5\equiv 8, 9^6\equiv 3, 9^7\equiv 4, 9^8\equiv 13, 9^9\equiv 2, 9^{10}\equiv 18$$ and $$1+9+9^2+9^3+9^4+9^5+9^6+9^7+9^8+9^9+9^{10}$$ is a multiple of $23$. Therefore the only values that are multiple of $23$ are $10q$ $m=10q$ pero tuvimos demonsrated que estos valores no son aceptables.