Dado que el $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ tiene cuatro raíces positivas.

Question

Dado que el $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ tiene cuatro raíces positivas.

Demostrar que (1) $pr-16s\ge0$ (2) $q^2-36s\ge 0$

con la igualdad en cada caso tiene si y sólo si las cuatro raíces son iguales.

Mi Planteamiento:

Vamos a las raíces de la ecuación

$x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ $\alpha,\beta,\eta,\delta$

$\alpha>0,\beta>0,\eta>0,\delta>0$

$\sum\alpha=-p$

$\sum\alpha\beta=q$

$\sum\alpha\beta\eta=-r$

$\alpha\beta\eta\delta=s$

Estoy confundido , ¿cuál es el próximo paso? por favor me ayudan

Answer 1

Vamos a necesitar los siguientes:

Si $a_1,\ldots,a_n>0$, $$\left(\sum_{k=1}^na_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}\right)\ge n^2$$ Prueba: Por AM-GM de la desigualdad, $\sum a_k\ge n\sqrt[n]{\prod a_k}$$\sum 1/a_k\ge n\sqrt[n]{\prod 1/a_k}$.

Para facilitar la escritura, voy a usar las letras del alfabeto latino para las raíces: $t,u,v,w$. $$\begin{align}pr&=(t+u+v+w)(tuv+tuw+tvw+uvw)\\ &=tuvw(t+u+v+w)\left(\frac1t+\frac1u+\frac1v+\frac1w\right)\\ &\ge 16s \end{align}$$

La segunda desigualdad puede ser probada de manera similar:

$$\begin{align}q^2&=(tu+tv+tw+uv+uw+vw)^2\\ &=tuvw(tu+tv+tw+uv+uw+vw)\left(\frac1{tu}+\frac1{tv}+\frac1{tw}+\frac1{uv}+\frac1{uw}+\frac1{vw}\right)\\ &\ge 36s \end{align}$$

Generalizando, si el polinomio $$\sum_{k=0}^na_kx^k$$ ha $n$ real positivo raíces y $a_n=1$, luego $$|a_ka_{n-k}|\ge\binom nk^2|a_0|$$ para $k\in\{1,\ldots,n-1\}$.

Answer 2

AM-GM de la desigualdad es la clave.

El producto $pr$ se compone de $16$ términos. Cuatro de estos términos es igual a $s$. Los restantes doce son los permutada versiones de $\alpha^2\beta\eta$. El producto de los doce es igual a $s^{12}$, así que por AM-GM que su suma es $\ge12s$.

En AM-GM hemos igualdad iff todos los números son iguales. Esto se traduce fácilmente a la exigencia de que $\alpha=\beta=\eta=\delta$.

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Podría así :-)

La versión correcta de la segunda desigualdad se lee $$q^2\ge 36s.$$ Esto se demuestra de la siguiente manera. El polinomio simétrico $q$ tiene seis términos. Por lo tanto, $q^2$ $36$ términos (algunos se repiten). El producto de las $36$ términos es igual a $\alpha^i\beta^j\eta^k\delta^\ell$. Cada uno de los $36$ términos de grado cuatro, de modo que su producto es de grado $36\cdot4$. Por simetría $i=j=k=\ell$, por lo que podemos concluir que $i=j=k=\ell=36$, y el producto es lo $s^{36}$. El AM-GM desigualdad ataca de nuevo. Dejando el extra de reclamo para el lector.