MCD de los coeficientes binomiales

Question

Puede que el siguiente se pueden probar o refutar?

$$\gcd\left(\binom{n}{1} , \binom{n}{2} , \binom{n}{3},...........,\binom{n}{\lfloor \frac n2 \rfloor}\right)$$

Donde $n \ge 4$ y es un entero positivo

Es siempre un número primo o 1.

Sería muy útil si la manera de probar o refutar puede hacer uso de las propiedades del triángulo de Pascal.

Answer 1

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$Supongamos $n$ no es un primo-poder, y vamos a $$n = \prod_{i=1}^{k} p_{i}^{e_{i}}$$ con $p_{i}$ distintos de los números primos, $e_{i} > 0$ por cada $i$.

Escribir $$n_{j} = \prod_{i \ne j} p_{i}^{e_{i}}.$$

Entonces es bien conocidoque $$\binom{n}{p_{i}^{e_{i}}} \equiv \binom{p_{i}^{e_{i}} n_{i}}{p_{i}^{e_{i}}} \equiv n_{i} \pmod{p},$$ de modo que $\dbinom{n}{p_{i}^{e_{i}}}$ no es divisible por $p_{i}$. Desde su mcd es un divisor de a $n = \dbinom{n}{1}$, esto muestra que el mcd es $1$ en este caso.

Si $n = p^{e}$ es una potencia de la prime $p$, entonces la ecuación de $\Z/p\Z[x]$ $$(1 + x)^{p^{e}} = a + x^{p^{e}}$$ muestra que todos sus coeficientes binomiales son divisibles por $p$, y su mcd divide $p^e = \dbinom{p^e} {1}$.

Pero por Kummer, el más alto poder de $p$ división $$\binom{p^{e}}{p^{e-1}}$$ es $p$, ya que no es precisamente un equipaje en la $p$-ádico, además de a$p^{e-1}$$p^{e} - p^{e-1} = (p-1) p^{e-1}$, por lo que su mcd es $p$.

Answer 2

$hint$

si n es un primo, a continuación, $n\choose r$ es siempre un múltiplo de $n$ porque no de factor del denominador puede cancelar $n$