Probar $\frac{\sec(x) - \csc(x)}{\tan(x) - \cot(x)}$ $=$ $\frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sec(x) + \csc(x)}$

Question

Pregunta: Demostrar $\frac{\sec(x) - \csc(x)}{\tan(x) - \cot(x)}$ $=$ $\frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sec(x) + \csc(x)}$

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Mi intento:

$$\frac{\sec(x) - \csc(x)}{\tan(x) - \cot(x)}$$

$$ \frac{\frac {1}{\cos(x)} - \frac{1}{\sin(x)}}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)}} $$

$$ \frac{\sin(x)-\cos(x)}{\sin^2(x)-\cos^2(x)}$$

$$ \frac{(\sin(x)-\cos(x))}{(\sin(x)-\cos(x))(\sin(x)+\cos(x))} $$

$$ \frac{1}{\sin(x)+\cos(x)} $$

Ahora esto es donde estoy atascado , pensé en multiplicar el numerador y el denominador por $$ \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}} $$, pero que no funciona bien..

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sec^2x-\tan^2x=1=\csc^2x-\cot^2x$$

$$\iff\sec^2x-\csc^2x=\tan^2x-\cot^2x$$

$$\sec^2x-\csc^2x=(\sec x-\csc x)(\sec x+\csc x)$$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Tome el lado derecho:

$$\frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sec(x) + \csc(x)}=\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\frac{1}{\cos(x)} + \frac{1}{\sin(x)}} = \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{\sin x+\cos x} $$

y esto es igual a la expresión que se encontró para la mano izquierda.

Answer 3

multiplicar y dividir $ \frac{1}{\sin{x}+\cos{x}}$$ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}$, a continuación, en el numerador sustituto $1$ $sin^2{x} + cos^2{x}$

Answer 4

Inicio multiplicando ambos lados por el denominador, de modo que usted consiga $$\sec(x)^2-\csc(x)^2 = \tan(x)^2-\cot(x)^2.$$ Empezando desde el lado izquierdo : \begin{align*}\sec(x)^2-\csc(x)^2 & =\frac{1}{\cos(x)^2}-\frac{1}{\sin(x)^2} \\ & = \frac{1}{\cos(x)^2}-1-\frac{1}{\sin(x)^2}+1 \\ & = \frac{1-\cos(x)^2}{\cos(x)^2}-\frac{1-\sin(x)^2}{\sin(x)^2} \\ & = \frac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}-\frac{\cos(x)^2}{\sin(x)^2}.\end{align*}

Answer 5

Multiplicar el lado izquierdo por el producto de la inversa de la RHS, y la RHS. $$\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{\sec x - \csc x}{\tan x - \cot x}&=&\displaystyle\frac{\sec x - \csc x}{\tan x - \cot x}\cdot\frac{\sec x + \csc x}{\tan x + \cot x}\cdot\frac{\tan x + \cot x}{\sec x + \csc x}\\ &=&\displaystyle\frac{\sec^2 x - \csc^2 x}{\tan^2 x - \cot^2 x}\cdot\frac{\tan x + \cot x}{\sec x + \csc x}\\ &=&\displaystyle\frac{(\tan^2 x + 1) - (\cot^2 x+1)}{\tan^2 x - \cot^2 x}\cdot\frac{\tan x + \cot x}{\sec x + \csc x}\\ &=&\displaystyle\frac{\tan x + \cot x}{\sec x + \csc x}\\ \end{array}$$ El truco: si LHS=RHS, a continuación, $LHS\times\frac{1}{RHS}$ va a ser siempre igual a 1, como $\frac{1}{RHS}\times RHS$ va a ser siempre igual a 1.