grado 3 Galois de la extensión de $\mathbb{Q}$ no radical

Question

Tengo la siguiente pregunta.

Tengo el siguiente resultado en Dummit y Foote álgebra abstracta (Teorema 39 p. 628) que señala que más de un campo de $char=0$, entonces un polinomio $f(x)$ es soluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es soluble en grupo.

Pero también me han resultado en uno de mis exámenes que dice que una extensión de Galois de grado 3 $\mathbb{Q}$ no es un radical de extensión.

¿Cómo es que las dos afirmaciones no se contradicen el uno al otro? pues pensaba que si el grupo de Galois era de tamaño 3, a continuación, su cíclico muy soluble, por lo que si $G$ es el grupo de Galois de algunos irreductible cúbicos, a continuación, no el teorema de decir que es soluble por radicales?

O es que hay una diferencia entre un polinomio es soluble por radicales y su división de campo de ser un radical extensión?

Gracias

Answer 1

Sí, hay algunas diferencias : una extensión de $L/K$ es soluble por radicales si hay una extensión de $L_1/L$ y una secuencias de extensiones $K \subset K_1 \subset \ldots \subset K_n \subset L_1$ donde cada paso es un radical de extensión.

Si $L/K$ es cíclico de orden $n$ $K$ contiene un $n$th raíz de la unidad, entonces tenemos que $L/K$ es radical (existe cierta $x \in L$ tal que $x^n \in K$$L = K(x)$).

Sin embargo, si $K$ no contiene esas raíces de la unidad, entonces no radical extensión de la orden de $n$ $K$ es de Galois. Así que tenemos que añadir en primer lugar, y luego se obtiene una extensión de $K \subset K(\zeta_n) \subset L_1 = L(\zeta_n)$ donde el primer paso es soluble por radicales, y la segunda es radical. Por lo $L$ es soluble por radicales, pero puede ser muy, muy lejos de ser un radical de extensión.

El ejemplo más sencillo es $K = \Bbb Q(2\cos \frac {2\pi}7) = \Bbb Q[c]/(c^3+c^2-2c-1)$. Es una extensión normal de $\Bbb Q$ cuyo grupo de Galois es cíclico de orden o $3$ (generados por $c \mapsto c^2-2$). Y con el fin de resolver por radicales y expresar $c$ con los radicales, usted tendrá que utilizar $\sqrt{-3}$ en algún lugar.