Clasificación de módulos inyectivos libres de torsión sobre un EPI

Question

Así que la pregunta es como en el título:

Dejemos que $R$ sea un PID. Clasificar todos los módulos inyectivos libres de torsión.

Sé que va a ser divisible, y usando libre de torsión, si definimos $\varphi_r:M\rightarrow M$ a través de $\varphi_r(m)=rm$ entonces obtenemos que $\varphi_r$ es un isomorfismo para todo $r$ no es cero. Es decir, $rM\cong M$ Pero no sé qué más puedo decir al respecto.

Answer 1

Así que dado $M$ un módulo inyectivo libre de torsión, tenemos que $\varphi_r$ es un isomorfismo. Nótese que podemos ver $M$ como $K(R)$ -(el campo de las fracciones) de la siguiente manera:

Definir $(a/b)\cdot m$ para ser $\varphi^{-1}_b(am)$ , como $\varphi_b$ es un isomorfismo que está bien definido. Por lo tanto, tenemos que $M$ es un $K(R)$ -es decir, un $K(R)$ -espacio vectorial.

Por lo tanto, los módulos inyectivos libres de torsión son precisamente espacios vectoriales sobre $K(R)$ .