Algebraicas interpretación de las funciones de Lyapunov

Question

Hace poco me enteré que el método de funciones de Lyapunov para descartar periódico soluciones en dos dimensiones de los sistemas no lineales. Mi entendimiento es que hay algunos de la función de Lyapunov para cualquier no lineal 2D sistema cerrado de las órbitas, y, básicamente, de que estas funciones siempre convergen asintóticamente a algún punto fijo.

La costumbre de la asunción de su forma es como la de $ax^2+by^2$, que se creo conveniente, ya que ambos términos son siempre positivos positivos de los coeficientes, pero me pregunto cómo esto se relaciona (en todo caso) a la idea de norma.

Hay una expresión algebraica de la interpretación de tales funciones en 2D sistemas que pueden proporcionar una visión más clara de lo que está sucediendo, o, alternativamente, ayudar a alguien a tener una mejor intuición acerca de cómo construir estos chicos? (Aparte de que se le dijo a encontrar uno en un conjunto de problemas, ¿qué acerca de un sistema 2D podría hacer que usted piensa que podría ser una función de Lyapunov?)

Answer 1

De lo poco que sabemos, la noción de una función de Lyapunov es hoy en día ampliamente utilizado para casi todos los sistemas dinámicos en los que la idea de cierta estabilidad tiene sentido. Por ejemplo, incluso se utilizan en ciencias de la computación y el software de verificación - ver, por ejemplo, en este artículo, y también prestar atención a los comentarios acerca de la clasificación de las funciones de la izquierda.

Nociones de estabilidad dependen crucialmente de la dinámica del sistema que se considera: si usted tiene un campo de vectores en algunos colector $\mathscr M$, por ejemplo,$\mathscr M = \Bbb R^n$, que a menudo hablan acerca de la estabilidad de un punto (punto de equilibrio), el límite de ciclo o, en general, de algunos invariantes submanifold - el conjunto de puntos que es invariante bajo el vector de flujo.

Pensemos en un ejemplo más simple - que es la estabilidad de un punto de equilibrio: la menor dimensión donde tiene sentido para lidiar con esto es $1$ $\Bbb R$ (por ejemplo, no tiene sentido hablar de ciclos límite en $\Bbb R$). La idea de una función de Lyapunov $$ f:\mathscr M\a \Bbb R $$ es empujar la dinámica original a un conjunto más sencillo, y el estudio de estabilidad. La condición en la disminución de la conducta de $f$ garantiza además que la estabilidad a lo largo de $\Bbb R$ puede ser traído de vuelta a $\mathscr M$. La característica interesante de este enfoque es que no sólo se aplica a una situación concreta anteriormente. Híbrido de los sistemas dinámicos clásicos nociones de estabilidad se enriquecen con Zeno estabilidad; como Zeno comportamiento no es realizada por lisa sistemas dinámicos, la construcción de funciones de Lyapunov como va $$ f':\mathscr M'\a H $$ donde $\mathscr M'$ es un híbrido múltiple de admisión, y $H$ es en 2d simple sistema híbrido. Por ejemplo, con un valor real de Lyapunov funciones no son más adecuados para el estudio de esta particular noción de estabilidad.

Por último, la noción de un incremento de la estabilidad habla acerca de la estabilidad de las trayectorias de los w.r.t. a sí mismos en lugar de w.r.t. algunas conjunto fijo. Similares ideas también se puede aplicar a este caso. Como resultado, uno puede pensar de funciones de Lyapunov como ciertos morfismos-como mapas entre los sistemas dinámicos que preservar la estabilidad de las estructuras.

Con respecto a la construcción de funciones de Lyapunov, pero de nuevo depende de que el problema de la estabilidad usted está interesado en. A menudo se sostiene que su existencia es equivalente a la estabilidad. Una dirección siempre es fácil de demostrar, ya que a menudo conduce a las condiciones necesarias en la definición de una función de Lyapunov. La dirección inversa (*estabilidad*$\,\Rightarrow\,$*existencia*) es mucho más difícil, ya que se requiere de la construcción de una función de Lyapunov - y a menudo se invoca la existencia de diffeomorphisms. Por ejemplo, una de las pruebas a las que me he visto discutido que es necesaria la conjetura de Poincaré para mantener cierto para la baja-dimensional de los casos.

En general, hay muchas reglas ad-hoc en la construcción de Lyapunov funciones dentro de ciertas clases. Como un ejemplo, para el sistema no lineal de la Suma De los Cuadrados (SOS) funciones polinómicas puede ser construido a través de algoritmos. El último puede ser considerado como un método algebraico como se desprende de los cálculos simbólicos.

¿Qué sugerencia sobre la existencia de dicha función - es un local de estabilidad/la atractividad de un conjunto de interés. No estoy seguro de si existe algún tipo de recibos, ya que este tipo de análisis depende siempre de un sistema en particular que usted tiene en las manos. Si usted está interesado, puedo mirar para algunos integral de referencias que hablar tanto de ideas y la construcción de funciones de Lyapunov en algunas clases particulares de problemas.

Answer 2

Permítanme comenzar con una discusión general, en dimensiones arbitrarias. Supongamos que tenemos un colector $M$ (posiblemente con límite) y un campo de vectores $V$. (Voy a suponer que apunta hacia el interior en el límite de la simplicidad.) Aprovecho también la convención de signos que una función de Lyapunov ha $df(V) \le 0$ con la igualdad sólo en los ceros de $V$.

La existencia de una función de Lyapunov es una fuerte topológica de la condición en $V$, pero en cierto sentido, si existe, es único (a partir de un topologist punto de vista). En efecto, supongamos que tengo dos funciones de Lyapunov $f_1$$f_2$, entonces puede tomar una combinación convexa para dar una función de Lyapunov (en realidad, puedo tomar un positivo de cono). Esto significa que el espacio de funciones de Lyapunov es contráctiles y lo "único" tan lejos como un topologist se refiere.

Ahora, vamos a ver algunos de los obstáculos que tener una función de Lyapunov impone en el campo de vectores. Como correctamente la pregunta, ustedes no pueden tener órbitas periódicas desde los valores de la función de Lyapunov tienen a disminuir a lo largo de las líneas de flujo del campo vectorial. Vamos a suponer que $V$ es no degenerada, aislado ceros, de nuevo por motivos de simplicidad. Tener una función de Lyapunov ahora también descarta que tenga ceros $p_1, \dots, p_N$, con una trayectoria que va desde $p_1$ a $p_2$, $p_2$ a $p_3$, etc. y $p_N$ $p_1$nuevo. (Me voy a referir a esto como un heteroclinic ciclo, aunque en el caso de $N=1$ es un homoclinic.) En las dimensiones superiores, hay muchos más complicadas configuraciones que también puede prevenir la existencia de una función de Lyapunov.

Consideremos el caso de una superficie. Me pueden probar fácilmente que un caso especial de lo que quiera, pero tendrá que pensar un poco acerca de la declaración general. El fácil argumento es que si $V$ no degenerada ceros, ninguna de cuyas alineaciones han puramente imaginario autovalores, y si $V$ no tienen órbitas periódicas y no tiene heteroclinic ciclos, entonces existe una función de Lyapunov.

La demanda es más o menos constructivas (no creo que esto le dará un utilizable algoritmo). El corazón de la discusión es la de Poincaré-Bendixson teorema. La combinación con nuestra falta de órbitas periódicas, esto nos dice que para cualquier flujo de tiempo invariante set$S$, $\omega$- límite consistirá en una colección de puntos críticos y de su conexión de trayectorias. Por nuestra segunda hipótesis, nuestra conexión de trayectorias no forman bucles. Por tanto, tenemos un árbol en nuestra superficie de cuyos vértices son los ceros de $V$ y cuyas aristas son líneas de flujo de $V$. Por la de Poincaré-Bendixson teorema, esta es la $\omega$-límite de la superficie. Podemos construir un local de la función de Lyapunov en el barrio de el árbol por el uso de las alineaciones de $V$ a los ceros (por lo que la función cuadrática en pequeños barrios de los ceros), y luego el parche de estos juntos (esto necesita un poco de cuidado).

Una vez que tenemos la función de Lyapunov en la vecindad de este árbol, se puede extender a la superficie mediante la definición de $f(x ) = t+ f( \phi_t(x) )$ donde $t$ es la primera vez que $\phi_t(x)$ es en el barrio. Esto no es bastante suave, pero se puede limpiar fácilmente.

De manera más general, la existencia de una función de Lyapunov para un vector de campo indica que el campo vectorial es "degradado" (o un "pseudogradient vector de campo"). Un campo vectorial permite reconstruir la homología del colector, por lo que son los objetos de interés.