Newton identidades sobre campos finitos

Question

Las identidades de Newton (incluyendo sobre campos finitos) están dadas por $$ ke_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} e_{k-i}p_i, $$ donde el $e_k$ $k$- th primaria simétrica polinomios y el $p_k$ $k$- ésima suma de la energía (ver aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities).

Si trabajamos modulo de un primer $\ell$ (sobre el campo $\mathbb{F}_e\\$) y $\ell \mid k$, es evidente que la identidad se vuelve $0 = 0$. En este caso nada útil se dice de $e_k$. Mi pregunta es si es implícita en estas identidades (pero no se menciona) que $$ e_k = \left(\dfrac{1}{k}\sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} e_{k-i}p_i \right)? $$ Es decir, $\ell \nmid \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} e_{k-i}p_i$? Gracias.

Answer 1

Como Robert Israel explicó, las consecuencias de la estudiante de Primer año el sueño de arruinar su día. Relaciones como $$ p_\ell=p_1^\ell $$ dejar claro que el poder de las sumas pueden no ser algebraicamente independientes, incluso cuando el exponente es $<n$ si $\ell\le n$. El anillo de polinomios simétricos en $n$ variables con coeficientes en un campo de $K$ es siempre generado por $e_1,e_2,\ldots,e_n$. Pero si $n!$ es divisible por $\operatorname{char} K$, entonces, como vimos, no es generado por $p_1,p_p,\ldots,p_n$. $K[p_1,p_2,\ldots,p_n]$ es entonces una adecuada sub-anillo de $K[e_1,e_2,\ldots,e_n]$.

Es a menudo posible para recuperar la falta de $e_i$:s, pero tenemos que utilizar el poder de las sumas $p_i, i>n$, y tenemos que trabajar con los campos de funciones racionales. El caso más simple es que de Robert respuesta, así que vamos a continuar con $n=2=\ell$. Obtenemos (por Newton, o una simple característica de cálculo de dos) $$ p_3=X_1^3+X_2^3=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)=e_1^3+e_2e_1. $$ Podemos resolver para $e_2$ aquí $$ e_2=\frac{p_3+e_1^3}{e_1}=\frac{p_3+p_1^3}{p_1}. $$ Así que podemos ver que $e_2\in K(p_1,p_3)$. Así que en este caso podemos concluir que los campos de simétrica funciones racionales $$ K(e_1,e_2)=K(p_1,p_3). $$ CREO que esto se generaliza a cualquier número de variables $n$ y cualquier característica $\ell$ en el sentido de que los campos $K(e_i\mid 1\le i\le n)$ $K(p_i\mid 1\le i)$ tiene la misma trascendencia grado, por lo que la primera es una extensión finita de este último. Me avergüenza admitir que en el momento en que yo no sabe/no recuerda si son siempre iguales.

Para cerrar no puedo resistir la tentación de llevar hasta un punto cercano y querido a mi corazón. Cuando la decodificación de una palabra recibida de un doble-corrección de errores binarios BCH código del receptor tarea es averiguar el error ubicaciones $X_1$ $X_2$ sobre la base de los síndromes que son exactamente el poder de las sumas $p_i$. Porque estamos en el carácter de los dos, con las observaciones que implica que el receptor puede calcular con éxito el (error localizador) polinomio $$ (T-X_1)(T-X_2)=T^2+e_1T+e_2, $$ si conocen a $p_1$$p_3$. Que BCH-el código está definido en términos de poder de sumas $p_1$$p_3$, así que esto es justo lo que recetó el doctor! También notamos que el caso $p_1=0$, $p_3\neq0$ es un desagradable caso especial, porque nuestra fórmula para $e_2$, entonces los intentos de dividir por cero.

Answer 2

Por ejemplo, tome $\ell = 2$, y dos variables. La identidad de $k=2$: $$2 e_2 = e_1 p_1 - p_2 = e_1^2 - p_2$$ es decir, $$ 2 X_1 X_2 = (X_1 + X_2)^2 - (X_1^2 + X_2^2)$$ Mod $2$, esto es sólo la identidad $$ (X_1 + X_2)^2 = X_1^2 + X_2^2$$ $e_1 = X_1 X_2$ no está en el ideal generado por a$X_1 + X_2$$X_1^2 + X_2^2$$\mathbb F_2$. Por ejemplo, con $X_1 = X_2 = 1$ $X_1 + X_2 = X_1^2 + X_2^2 = 0$, pero $X_1 X_2 = 1$.