Submódulos de un producto de módulos sencillos

Question

Deje $R$ ser un anillo y $A,B$ dos simples $R$-módulos. Me gustaría probar lo siguiente:

Si $A$ $B$ no son isomorfos, entonces el sólo submódulos de $A \times B$$\{0\} \times \{0\},A \times \{0\}, \{0\} \times B$$A \times B$.

El resultado es malo en general (véase a esta pregunta).

---

Deje $P \leq_R A \times B$. Sé que si $π : A \times B \to A$ $π' : A \times B \to B$ son de la canónica de las proyecciones, a continuación, $π(P)$ es $0$ o $A$, e $π'(P)$ es $0$ o $B$.

Si uno de ellos es $0$, fue capaz de concluir. Pero, ¿cómo puedo demostrar que $P=A \times B$ suponiendo que $π(P)=A$$π'(P)=B$? Esto puede ser fácil, pero yo realmente no sabía cómo usar el hecho de que $A$ $B$ son no isomorfos (como $R$-módulos). Debo proceder por la contradicción?

Hay en el sitio de algunas de las preguntas sobre submódulos de semi-módulos sencillos, pero no he encontrado lo que estaba buscando.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Voy a usar las $\pi_A$$\pi_B$$\pi$$\pi'$. Deje $i: P \to A\oplus B$ ser la inclusión del mapa. Deje $\hat B = \{(0,b): b \in B\}\subset A\oplus B$ $\hat A$ se define de manera similar.

En virtud de su hipótesis, $\pi_A \circ i : P \to A$ es sobre. Su núcleo es $P \cap \hat B$. Si el kernel es distinto de cero, entonces a $\hat B \subset P$ lo $P=A\oplus B$. Si el núcleo es cero, $P \cong A$.

Ahora repita el argumento con $\pi_B \circ i : P \to B$. Usted obtener cualquiera de las $\hat A \subset P$, lo $P=A\oplus B$ como antes, o $P \cong B$. Si $P \neq A\oplus B$ a continuación se iso para ambos $A$ $B$ simultáneamente; imposible.

Answer 2

Supongamos $\{0\}\subsetneq P\subsetneq A\times B$; demostrar que cualquiera de las $P\oplus(A\times\{0\})$ o $P\oplus(\{0\}\times B)$ es el total de $A\times B$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer el caso anterior se mantiene. Por lo tanto, $P\cong B$ es simple.

Deje $t=(x,y)\in P$,$x\ne0$$y\ne0$. A continuación, $tR=P$ y el mapa de $tR\to A$ (restricción de la proyección) es surjective, porque contiene $x\ne0$. Desde $tR\cong B$, llegamos a la conclusión de que $A\cong B$.

Answer 3

Desde $(A \times B)/A \cong B$ es simple, no hay módulos contenidas correctamente entre el$A$$A \times B$, y lo mismo vale para los $B$$A \times B$.

Supongamos $C$ es un submódulo diferentes de los que usted nombra.

Desde $C$ es diferente de$A$$A \times B$, no puede contener $A$. Por la misma razón, no puede contener $B$.

Desde $A$ $B$ son simples, obtenemos $C \cap A = \{ 0 \} = C \cap B$.

Desde $C \ne \{ 0 \}$, por lo que el $A + C$ correctamente contiene $A$,$A + C = A \times B$, y de manera similar a $C + B = A \times B$.

Sigue $$ B \cong (A \times B)/a = (a + C)/A \cong C, \qquad Un \cong (A \times B)/B = (C + B)/B \cong C, $$ de modo que $A \cong B$, en contra de la hipótesis.