Un complementado celosía de la satisfacción de las leyes de de Morgan es un ortholattice?

Question

Supongamos que usted tiene un almacén, que se complementa celosía $\mathfrak{L} = \left<L, \vee, \wedge, \neg, 1, 0\right>$ que satisface las leyes De De Morgan. Quiero demostrar que este es un ortholattice. La primera condición $a \leq b \implies \neg b \leq \neg a$ era muy sencillo, pero estoy luchando mucho con la segunda condición.

Es decir, dada $\neg (a \vee b) = \neg a \wedge \neg b$ $\neg (a \wedge b) = \neg a \vee \neg b$ todos los $a, b \in L$, me gustaría mostrar que

$$\neg\neg a = a$$ for all $a, b, \en L$.

Cuando vi esto en un libro de texto, lo que vi fue: $\neg \neg a = \neg (\neg a \vee \neg a) = \neg \neg a \wedge \neg \neg a = a \wedge a = a $

Yo no puedo, sin embargo, entender cómo uno consigue $\neg \neg a \wedge \neg \neg a = a \wedge a$ sin asumiendo $\neg\neg a = a$.

También traté de probar esto de alguna otra manera, pero fracasó.

Necesito una de dos cosas:

1. Una alternativa a prueba, o

2. Una explicación de por qué la $\neg \neg a \wedge \neg \neg a = a \wedge a$ no suponga $\neg\neg a = a$

Answer 1

Esto no es cierto en general, a menos que el entramado es únicamente complementa. Por ejemplo, considere el diamante de celosía $M_3$, con elementos de $\{0,a,b,c,1\}$ tal que $0 < a,b,c < 1$ y ninguno de $a,b,c$ son comparables entre sí. Podemos asignar complementa $\neg a = b$$\neg b = c$$\neg c = a$. Se puede comprobar que de Morgan leyes de sostener, como lo hace el pedido-revertir la condición, sino $\neg \neg a \neq a$.