Un teorema básico en el campo de isomorphisms

Question

Estoy leyendo Un Libro De Álgebra Abstracta por Charles C. Pinter. En la página 314, es el siguiente teorema:

Deje $h:F_1\to F_2$ ser un isomorfismo, y deje $p(x)$ ser irredicible en $F_1[x]$. Supongamos $a$ es una raíz de $p(x)$, e $b$ es una raíz de $h(p(x))$. A continuación, $h$ puede ser extendido a un isomorfismo $\bar h:F_1(a)\to F_2(b)$, e $\bar h(a)=b$.

Por $h(p(x))$ el autor se está refiriendo a la extensión obvia de $h$ $F_1[x]$(aplicando $h$ a cada coeficiente).

Destacar que cada elemento de a $F_1(a)$ se puede expresar de forma única como $\sum c_i a^i$, el autor define a $$\bar h(\sum c_i a^i)=\sum h(c_i) b^i$$

Me parece que este bien definido, siempre un homomorphism, y bijective mientras $a$ tiene el mismo grado por encima del $F_1$$b$$F_2$. El autor del requisito de que $b$ ser una raíz de $h(p(x))$ parece innecesariamente fuerte.

Pregunta: Es este el teorema de la verdad tanto tiempo como $a$ tiene el mismo grado por encima del $F_1$$b$$F_2$?

Answer 1

No, el requisito de que $b$ ser una raíz de $(h(p))(x)$ no se puede quitar. De hecho,

$$0= h(0) = h(p(a)) = (h(p))(h(a)) = (h(p))(b)$$

muestra que $b$ es una raíz de $h(p)$.

Vagamente hablando, un mapa entre dos objetos deben preservar las relaciones existentes. La condición de que la relación se $p(a)=0$ ser conservados por $h$ es, precisamente, $h(a)$ ser una raíz de $h(p)$.

Answer 2

Aquí es un simple ejemplo de que su condición no es suficiente:

Tome $F_1 = F_2 = \mathbb{Q}$, el isomorfismo $f$ la identidad. Tome $p(x) = x^2-2$ y tomar $a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt{3}$. A continuación, supongamos $f=\mathrm{id}$ puede ser extendido a$\bar{f}\colon\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to\mathbb{Q}(\sqrt{3})$$\bar{f}(\sqrt{2}) = \sqrt{3}$. Entonces de la siguiente manera

$$2 = f(2) = f(\sqrt{2}\sqrt{2}) = f(\sqrt{2})^2 = \sqrt{3}^2 = 3$$