Ese es un problema que he probado (bastante tiempo) en pequeñas Rudin. Sin embargo, yo realmente no se que. Las otras preguntas fueron realmente útiles los resultados - no creo que jamás he encontrado cerca de el uso de este resultado. Seguramente va a estar cerca de aparente de que usted está trabajando en una multitud innumerable?
Por ejemplo, los ejemplos en los que este resultado podría ser aplicada, pero es difícil de otra manera de decir que el espacio es incontable?
Deje que sus puntos de $a$$b$.
Deje $\lambda\in(0,1)$ Supongamos que no hay punto de $x$ en su espacio tal que $d(a,x)=\lambda d(a,b)$. A continuación, los conjuntos de $\{z:d(a,z)<\lambda d(a,b)\}$ $\{z:d(a,z)>\lambda d(a,b)\}$ son de dos no-vacío abrir establece que la partición del espacio.
Ya que estamos suponiendo que la conexión, esto es imposible.
Por lo tanto, la imagen de la función $d(a,\mathord\cdot):X\to\mathbb R$ contiene el intervalo de $(0,d(a,b))$, y esto sólo puede suceder si $X$ es incontable.
Aunque inútil, este es un resultado bonito :)
Llamar a los dos puntos de $x_1$$x_2$. Por lo $d(x_1,x_2)>0$.
¿Cuál es el conjunto de $\{d(x_1,x) : x\in A\}$? ¿Contiene todos los números entre el$0$$d(x_1,x_2)$? Si es así, entonces usted tiene al menos tantos puntos de $x\in A$ como números entre el$0$$d(x_1,x_2)$. Si no, a continuación, algunos de número de $c$ $0$ $d(x_1,x_2)$ no es la distancia entre cualquier punto de $x\in A$$x_1$. Así que considera los dos conjuntos $$ \{x\in a : d(x_1,x)<c\}\text{ y }\{x\in a : d(x_1,x)>c\}. $$ Esas son distintos subconjuntos abiertos de $A$ cuya unión es todo de $A$, lo $A$ no estaría conectado.
La mayor aplicación que sé de este resultado es el corolario inmediato de que un contable de espacio métrico es totalmente desconectados.
Puede haber situaciones desconozco, pero no creo que el ajuste estándar es tener un espacio métrico $(X,d)$, donde se sabe que $X$ está conectado en $d$, y que hay al menos dos puntos distintos en $X$, pero no lo sabe ya que el espacio es incontable (y cuidado!). Creo que sería mucho más probable para saber que $X$ es en la mayoría de los contables y, a continuación, nos gustaría saber el espacio debe ser desconectado, independientemente de la métrica que vamos a elegir para su uso.
Por ejemplo, para aquellos que no han visto la Ostrowski del teorema, y no tienen idea de lo que las métricas pueden ser colocados en $\mathbb{Q}$, el resultado de la muestra de inmediato que es imposible construir un indicador en virtud de la cual $\mathbb{Q}$ está conectado a un espacio métrico. (Eso no quiere decir que sea una mala idea para conseguir sus manos sucias, tratar de construir una métrica $d'$, de modo que $(\mathbb{Q},d')$ está conectado a un espacio métrico, y ver lo que va mal!)
Posteriormente, podría ver esto como un argumento para la construcción de $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, ya que no importa lo métrica que vamos a utilizar, hay agujeros.
Supongo que se podría decir también, si hay una topología $\tau$$\mathbb{Q}$, de modo que $(\mathbb{Q},\tau)$ está conectado a un espacio topológico, entonces también sabemos que este espacio no es metrizable. No sé si esto es particularmente útil punto de vista aunque..
Por supuesto, estos son sólo ejemplos de uso $\mathbb{Q}$ a ilustrar el punto, y lo mismo vale para mucho más raro 'mirar' en la mayoría de los contables de los espacios, donde se puede ser mucho menos intuitivo que no existen métricas para hacer que el espacio de la conexión de un espacio métrico.
Bueno, yo no tengo ningún interesantes ejemplos de conexión de la métrica de espacios que no son inmediatamente obviamente innumerables, pero he aquí una más fuerte teorema:
Cada contables regular $T_1$, con al menos dos puntos está desconectado.
Hay un par de maneras para probar esto, que yo sepa; una separación de dos puntos arbitrarios pueden ser construidas sucesivamente tomando más y más grande distintos bloques abiertos alrededor de ellos con distintos cierres. Alternativamente, se puede demostrar que un espacio de este tipo es necesariamente normal y, a continuación, Urysohn del lexema puede ser utilizado para demostrar que cualquiera de los dos puntos están separados.
Es difícil venir para arriba con un ejemplo de un countably espacio infinito que es regular y $T_1$, pero no métrico (es decir, un espacio en el que confirma que este teorema es realmente más fuerte que la que se dio). Voy a retener mi ejemplos por ahora, en caso de que usted decide que usted desea abordar este problema usted mismo. Como t.b. menciona en los comentarios, no son contables Hausdorff espacios conectados; que es un problema más difícil de averiguar, si no has seguido el enlace.
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