Si $AB=BA$, muestran que $B$ es diagonalizable.

Question

Se nos pidió a probar lo siguiente:

Deje $ A $ $n \times n$ matriz con $n$ distintos real de los autovalores. Si $AB=BA$, muestran que $B$ es diagonalizable.

Se sugirió que me muestran que un autovector de a $A$ también es un autovector de a $B$. Estoy teniendo problemas para hacer esto y no ver cómo me gustaría completar la prueba después. Cualquier ayuda se agradece.

Gracias

Answer 1

A partir de un comentario:

Yo todavía no entiendo cómo es que si $v$ es un autovector de a $A$ correspondiente a algunas autovalor $\lambda$, $A(Bv)=\lambda Bv$ implica que el $v$ también es un autovector de a $B$.

Si vemos que esto es cierto, entonces vamos a ser capaces de concluir que el $B$ es diagonalized por una base de vectores propios de a $A$.

Es cierto debido a que el espacio propio de $A$ para el autovalor $\lambda$, $\{x:Ax=\lambda x\}$, es unidimensional por la hipótesis de que la $A$ $n$ distintos autovalores. La ecuación de $A(Bv)=\lambda Bv$ dice que $Bv$ es en este espacio, el cual es atravesado por $v$. Por lo tanto, no existe un escalar $c$ tal que $Bv=cv$.

Answer 2

Por lo $A$ es diagonalizable con n elementos distintos en su diagonal principal, $A=diag$ $(a_1,..., a_n)$. Deje $B=(b_{ij})$, hacer la multiplicación de ambos lados de $AB=BA$ y el uso de componentes de sabios de la correspondencia de la matriz de la igualdad. Ahora puede ver los elementos fuera de la diagonal principal de B debe ser cero