Considere las variables aleatorias $\epsilon_1, X_1, X:=(X_1,\dots,X_n)$ $X_1,...,X_n$ i.yo.d. Es cierto que $$\mathbb E\left(\frac{\epsilon_1}{X_1}\right)=\mathbb E\left(\frac{\mathbb E(\epsilon_1\mid X)}{X_1} \right)$$ Croquis de la prueba?
Respuestas
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Si $X$ $X_1$ no estaban relacionados como lo son, esto no suele ser cierto. Tomemos, por ejemplo, independiente de las variables aleatorias $X$ $Y$ y deje $Z = 1/Y.$ $$ \mathbb{E}\left[ \frac{Y}{Z} \right] = \mathbb{E}[Y^2] $$ y $$ \mathbb{E}\left[ \frac{\mathbb{E}[Y \mid X]}{Z} \right] = \mathbb{E}\left[ \frac{\mathbb{E}[Y]}{Z} \right] = \mathbb{E}[Y]\mathbb{E}\left[\frac{1}{Z}\right] = \mathbb{E}[Y]^2 $$
Sin embargo, lo cierto es que para cualquiera de las variables aleatorias $A$$B$, y mensurable en función de $f$, $$ \mathbb{E}[f(a, B)] =\mathbb{E}\big[\, f(A)\, \mathbb{E}[B \mid]\big] $$ Para demostrar esta última afirmación, el uso de la ley de expectativas iteradas y que $$\mathbb{E}[f(A) B \mid A] = f(A) \mathbb{E}[B \mid A]$$
En su caso, el último punto parece más apropiado: Set$A = X = (X_1, ..., X_n)$,$f(X_1, ..., X_n) = 1/X_1$, y establecer $B = \epsilon_1$.
Stef
Puntos
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Asumiendo $\mathbb E|\epsilon_1/X_1|<+\infty$, la torre de la propiedad (o ley de la total expectativa) implica que \begin{align}\mathbb E\left(\frac{\epsilon_1}{X_1}\right)&=\mathbb E\left(\mathbb E\left(\frac{\epsilon_1}{X_1}\mid X\right)\right)=^{X_1 \text{ is known given }X}\\[0.2cm]&=\mathbb E\left( \frac{1}{X_1} \mathbb E\left(\epsilon_1\mid X\right)\right)\end{align} por lo tanto, parece correcto para mí.
