¿Por qué hay un "desaparecido"? $1$ en la constante de Euler-Mascheroni?

Question

Es es fácil demostrar que : $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \ln(n+1), $$ pero el Constante de Euler-Mascheroni se define como: $$ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right). $$

Mi pregunta es, ¿por qué fue $\gamma$ definida mediante $\ln(n)$ y no $\ln(n+1$ )?

¿Son las dos definiciones idénticas, o simplemente resulta más conveniente para otras aplicaciones definir $\gamma$ utilizando $\ln(n)$ ?

Answer 1

$$ \left( \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} - \ln(n+1) \right) - \left( \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} - \ln(n) \right)=\ln(n)-\ln(n+1)=\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)$$

Y $$\lim_n \ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln 1=0$$

Answer 2

Como señaló @N.S., no hay ninguna diferencia en el límite al elegir $\ln(n+A)$ en lugar de $\ln(n)$ .

El uso de $\ln(n)$ proviene de la conveniente fórmula integral dada por $$\gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{[x]} - \frac1x \right) dx.$$

Aquí la elección de utilizar $\ln(n)$ es natural.

Además, podemos ver $\gamma$ como la diferencia en las áreas de $1/x$ y $1/[x]$ . Se puede ver desde este punto de vista, deslizando todas las áreas bajo $1/[x]$ y más $1/x$ a la $y$ -eje, que $\gamma$ está limitada por $1$ . Dado que todas estas áreas caben dentro del cuadrado que tiene el origen, así como $(1,1)$ para las esquinas.