Podemos encontrar una forma cerrada para $ \int\nolimits_{- \infty}^{\infty} \frac{\exp\left(-(a+bx)^2\right)}{1+\exp(x)}\mathrm dx$?

Question

Podemos encontrar una forma cerrada para esta integral definida: $$ \int\nolimits_{- \infty}^{\infty} \frac{\exp\left(-(a+bx)^2\right)}{1+\exp(x)}\mathrm dx $$

Answer 1

La integral tiene una forma cerrada al$a = 0$$b \neq 0$. (La integral diverge si $b=0$.) Tenemos $$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-b^2x^2}}{1+e^x} dx. $$ Haciendo la sustitución de $x \to -x$, podemos reescribir como $$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-b^2x^2}}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-b^2x^2} \cdot e^x}{1+e^{x}} dx. $$ La adición de las dos integrales y dividiendo por $2$, $$ I = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-b^2x^2} dx = \frac{1}{2 |b|} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy, $$ a través de la sustitución de $y =|b|x$. Así terminamos con los familiares de Gauss integral, en el que se evalúa a $\sqrt{\pi}$. Por lo tanto la integral dada es igual a $$ I = \frac{\sqrt{\pi}}{2|b|}. $$

Para general $a$, por supuesto, este truco no funciona. Creo que debe ser difícil para el cálculo de la integral.

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Nota. La misma idea puede ser utilizado para mostrar que si $f(x)$ es un continuo , incluso, la función y la $c > 0$, luego $$ \int_{-c}^c \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \frac{1}{2} \int_{-c}^c f(x) dx = \int_0^c f(x) dx. $$

Answer 2

División de integración de la región y expandir $(1+\mathrm{e}^x)^{-1}$: $$ (1+\mathrm{e}^x)^{-1} = \left\{ \begin{array}{ll} \sum_{k \ge 0} (-1)^k \mathrm{e}^{-(k+1)x} & x > 0 \\ \sum_{k \ge 0} (-1)^k \mathrm{e}^{k x} & x \le 0 \end{array} \right. $$ y, a continuación, integrar plazo-sabio, asumiendo $b>0$: $$ \int_0^\infty \mathrm{e}^{-(a+b + x)^2} \mathrm{e}^{-(k+1) x} \, \mathrm{d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \exp \left( \frac{(k+1)(k+1+4 b)}{4 b^2} \right) \mathrm{erfc}\left( a + \frac{k + 1}{2} \right) $$ y $$ \int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{-(a+b + x)^2} \mathrm{e}^{k x} \, \mathrm{d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \exp\left( \frac{k(k-4 a, b)}{4 b^2} \right) \mathrm{erfc}\left( \frac{k}{2b} - \right) $$

Answer 3

Wolfram Alpha da un resultado con $a=0$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2b}$ (nota mi $a$ es el $b^2$) pero ahoga al $a$ es distinto de cero.

Answer 4

El resultado de Srivatsan $$\frac{\sqrt{\pi}}{2|b|} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-b^2x^2}}{1+e^{x}} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-b^2x^2} \cdot e^x}{1+e^{x}} dx$$ da el caso de $a=-\frac{1}{2b}$ debido a que este es $$ = e^\frac{1}{4b^2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-(-\frac{1}{2b}+bx)^2}}{1+e^{x}} dx. $$