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La prueba de $n!\geq2^{n-1}$ por inducción matemática

Estoy tratando de hacer una prueba

$$n!\geq2^{n-1}\;\;\forall \;n\in N$$

Aquí está lo que he hecho!

$ \text{When}\;\; n=1,\;\; 2^{0}\leq 1!$,

$ \text{when}\;\; n=2,\;\; 2^{1}\leq 2!$,

$ \text{when}\;\; n=3,\;\; 2^{2}\leq 3!$,

$\vdots$

Supongamos que es cierto para $n=k$, luego

$$2^{k-1}\leq k!$$.

Ahora, queremos demostrar por $n=k+1$.

Me quedé atrapado en este punto. Necesito ayuda! Gracias!

3voto

SiongthyeGoh Puntos 61

\begin{align} (k+1)! &= k!(k+1) \\ &\ge2^{k-1}(k+1) \end{align}

Puede completar?

3voto

AsBk3397 Puntos 327

A continuación, para $n = k+1$, tenemos $$2^k = 2\cdot2^{k-1} \le 2 \cdot k!\ \text{ by inductive argument}$$ A partir de aquí, es fácil ver que $2\cdot k! \le (k+1)k! = (k+1)!$

3voto

Brian Tung Puntos 9884

Usted está apagado por $1$ en su base de observaciones; el que debe tener, en cambio, los siguientes:

$$ 1! \geq 2^0 \\ 2! \geq 2^1 \\ 3! \geq 2^2 $$

Para la inducción de paso, usted debe estar pensando como esto:

$$ 2^k = 2 \times 2^{k-1} \leq \cdots $$

Puede completar esa línea?


P. S. Siong Thye Goh la respuesta que le da a la otra mitad... :-)

3voto

Tiago Siller Puntos 313

Si $n=1$,$1!=1\ge 1= 2^0$.

Supongamos que $n!\ge 2^{n-1}$ algunos $n\ge1$.

A continuación, $$(n+1)! = (n+1)\cdot n! \ge 2\cdot n! \ge 2\cdot 2^{n-1} = 2^n$$

Así que, por inducción, $n!\ge 2^{n-1}$, para todos los $n\in\mathbb{N}$.

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