Ecuaciones diferenciales con funciones de forzamiento discontinuas

Question

$$ y''+y'+1.25y = g(t), \quad t > 0, $$

$$y(0) = 0, \quad y'(0) = 0 $$

$$g(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin{t} & 0 \le t < \pi \\ 0 & t \ge \pi \end{array}\right.$$

Resolver el problema de valor inicial. Dibuja las gráficas de la solución y de la función forzante; explica cómo están relacionadas.

Estoy confundido sobre lo que es una función de forzamiento y cómo resolverla. He intentado resolverla por partes, encontrando que la solución para $y'' + y' + 1.25y = \sin{t}$ es $\frac{4}{17} \sin{t} - \frac{16}{17} \cos{t}$ . Tengo la solución general para $y'' + y' + 1.25y = 0$ como $y = ce^{-1/2t}cos(t) + ce^{-1/2t} \sin{t}$ . No estaba seguro de qué hacer a continuación.

¿Debía utilizar la transformada de Laplace en su lugar?

Answer 1

Su ecuación es una EDO de 2º orden, de coeficientes constantes, no homogénea y lineal. Además, el término no homogéneo es una función a trozos que, como $t > 0$ divide su dominio en dos subdominios, $I_1 = (0,\pi)$ y $I_2 = [\pi,\infty)$ . Esto le lleva a resolver la ecuación para cada uno de los subdominios. Para ello, siga, por ejemplo, este enlace o este . Fíjese que acabará con dos soluciones, $y_1(x)$ para $x \in I_1$ y $y_2$ para $x \in I_2$ con, además, cuatro constantes de integración (diferentes). Entonces se pueden poner algunas de ellas como funciones de las otras para tener una solución continua, siempre que las condiciones iniciales en $x\in I_1$ .

Fíjate también que la parte homogénea de tus ecuaciones no cambia, por lo que debería seguir siendo la misma. De hecho, tenemos:

$$\mathrm{L}[y_h] = y'' +y' + \frac{5}{4} y = 0, $$ y la ecuación característica nos dice que $r_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \mathrm{i}$ son sus respectivas soluciones. Así que:

$$y_h(t) = e^{-t/2} ( A\cos{t} + B \sin{t} ).$$

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Veamos cómo podemos resolver este problema utilizando la transformada de Laplace. Tomando la transformada de Laplace en ambos lados llegamos a:

$$Y(s)(s^2 + s+ 5/4) = \mathcal{L}_s g(t), $$ donde se han considerado las condiciones iniciales y la RHS es la transformada de Laplace de una función definida sobre dos intervalos, es decir

$$\mathcal{L}_s g(t) = \int^\infty_0 g(t)e^{-s t} \, \mathrm{d}t = \int^\pi_0 \sin{t}e^{-st} \, \mathrm{d}t+\int^\infty_\pi 0 \times e^{-st} \, \mathrm{d}t = \frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1},$$

por lo tanto, resolviendo para $Y(s)$ y transformando en antiplaza ambos lados obtenemos:

$$\color{blue}{y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1 + e^{-\pi s}}{(s^2+s+5/4)(s^2+1) } \right] = \mathcal{L}^{-1}[G(s)].}$$

Obsérvese que ahora podemos escribir $G(s)$ de la siguiente manera:

$$ G(s) = \frac{1}{ (s^2+s+5/4)(s^2+1) } + \frac{e^{-\pi s}}{(s^2+s+5/4)(s^2+1)}, $$

y, como $1/(s^2+1) = \mathcal{L}_s[\sin{t}]$ y $1/(s^2+s+5/4) = \mathcal{L}_s[e^{-t/2} \sin{t} ]$ podemos escribir:

$$ G(s) = \underbrace{\mathcal{L}_s[\sin{t}]\mathcal{L}_s[e^{-t/2} \sin{t} ]}_{Q(s)} \ + \ e^{-\pi s} \mathcal{L}_s[\sin{t}]\mathcal{L}_s[e^{-t/2} \sin{t} ]. $$

Por lo tanto, por el teorema de convolución tenemos:

\begin{align} q(t) & = \sin{t} * e^{-t/2} \sin{t} = \int^t_0 \sin{(t-\tau)} e^{ -t/2} \sin{t} \, \mathrm{d} \tau \\ & = \frac{8}{17} e^{-t/4} \left(\cosh(t/4) \sin{t} - 4 \cos{t} \sinh{(t/4)} \right), \end{align}

donde Mathematica ha facilitado las cosas aquí. Por último, utilizando el hecho de que $\mathcal{L}^{-1} [F(s) e^{-a s}]=H(t-a) f(t-a), $ $a\in \mathbb{R}$ , donde $H$ es la función de Heaviside o de paso unitario, finalmente obtenemos la solución como sigue:

$$\color{blue}{y(t) = q(t) + H(t-\pi) q(t-\pi)}.$$

A continuación se presenta un boceto de la solución para $0 \leq t \leq 5 \pi$ obtenida mediante la transformada de Laplace que coincide, por supuesto, con la obtenida mediante $\texttt{DSolve}$ con Mathematica:

podemos ver que, si esto corresponde a un sistema dinámico, entonces es un oscilador armónico amortiguado estable.

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¡Salud!

Answer 2

Ya ha demostrado que la solución en $(0,\pi)$ es $$y(t)=\frac{4}{17} \sin{t} - \frac{16}{17} \cos{t}+A\mathrm e^{-t/2}\cos t + B\mathrm e^{-t/2} \sin{t},$$ para algunas constantes $A$ y $B$ . Su siguiente paso debe ser determinar $(A,B)$ utilizando las condiciones iniciales $y(0)$ y $y'(0)$ .

Ya has demostrado (casi) que la solución en $(\pi,\infty)$ es $$y(t)=C\mathrm e^{-t/2}\cos t + D\mathrm e^{-t/2} \sin{t},$$ para algunas constantes $C$ y $D$ . Su siguiente paso debe ser determinar $(C,D)$ utilizando la continuidad de las funciones $y$ y $y'$ en $\pi$ . En otras palabras, hay que tener $$\lim\limits_{t\to\pi,t\lt\pi}y(t)=\lim\limits_{t\to\pi,t\gt\pi}y(t),\qquad\lim\limits_{t\to\pi,t\lt\pi}y'(t)=\lim\limits_{t\to\pi,t÷gt\pi}y'(t).$$