Sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias con signo inverso

Question

Considerar las ecuaciones diferenciales ordinarias $$\dfrac{d}{dt}x_1(t)=x_2(t)$$ $$\dfrac{d}{dt}x_2(t)=-x_1(t)$$

para $t\in \mathbb{R}$. ¿Cuáles son las soluciones?

Tenemos $\dfrac{d^2}{dt^2}x_1(t)=\dfrac{d}{dt} x_2(t)=-x_1(t)$ también $\dfrac{d^2}{dt^2}x_2(t)=-\dfrac{d}{dt} x_1(t)=-x_2(t)$. Por lo $x_1(t)$ $x_2(t)$ satisfacer la ecuación de $\dfrac{d^2}{dt^2}u(t)+u(t)=0$. Podían ser de seno y coseno. ¿Qué otra cosa podrían ser?

Answer 1

Sugerencia:

Lo que si escribimos el sistema como un $2x2$ matriz y se encontró que los valores propios?

El sistema sería:

$$x' = Ax = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}$$

Spoiler - No Peek

$x_1(t) = c_1 \cos t + c_2 \sin t$, $x_2(t) = -c_1 \sin t + c_2 \cos t$

Por supuesto, nosotros también podrían haber resuelto el sistema de segundo orden que usted escribió:

$$u'' + u = 0 \rightarrow m^2 + 1 = 0 \rightarrow m_{1,2} = \pm ~i$$

Esto da una de las soluciones con el seno y el coseno de términos.

También podríamos trazar un retrato de fase del sistema como: