Cómo maximizar $\sum\limits_{i=1}^n u_iln(x_i)$ ?

Question

Cómo maximizar ¿Esto? $$ \sum\limits_{i=1}^n u_iln(x_i), $$ donde $u_i,x_i$ son números reales, $n$ es un número entero positivo, $0 \leq u_i \leq 1, 0 < x_i < 1, \sum\limits_{i=1}^n u_i = 1, \sum\limits_{i=1}^n x_i = 1$ y sólo $x_i$ son variables, a otros se les asignan números.

Answer 1

Pista: Utiliza multiplicadores de Lagrange: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier

En este caso, hay que trabajar con

$\Lambda(x_1,...,x_n,\lambda)=\sum u_i \log(x_i)-\lambda(x_1+...+x_n-1)$

y sigue el método descrito en Wikipedia.

De hecho, tenemos

$\dfrac{\partial \Lambda}{\partial x_i}=\dfrac{u_i}{x_i}-\lambda$ para todos $i$ por lo que todos los $\dfrac{u_i}{x_i}$ son iguales (a $\lambda$ ). Así que la solución es tomar $x_i=u_i$ .