Demostración de las equivalencias de los enunciados equivalentes a AC

Question

Estoy haciendo el siguiente ejercicio de Just/Weese:

Demuestre en ZF que (WO) implica (IC) y que (IC) implica (SC).

donde

(WO) Todo conjunto puede estar bien ordenado.

(IC) Para dos conjuntos cualesquiera $X,Y$ o bien hay una inyección $X \hookrightarrow Y$ o $Y \hookrightarrow X$ .

(SC) Para dos conjuntos cualesquiera $X,Y$ o bien hay una suryección $X \twoheadrightarrow Y$ o $Y \twoheadrightarrow X$ .

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(WO) $\rightarrow$ (IC): Sea $X,Y$ sean dos conjuntos. Entonces por (WO) pueden estar bien ordenados. Por tanto, cada uno está en biyección con un ordinal $\alpha$ (y $\beta$ respectivamente):

Afirmación: Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un ordinal.

Prueba de ello: Sea $\langle, X,W \rangle$ sea un conjunto bien ordenado. Sea $\alpha$ sea un ordinal con $|\alpha| \ge |X|$ . Definir un mapa inyectivo $f: X \hookrightarrow \alpha$ de la siguiente manera:

(i) Sea $x_0$ sea el $W$ -elemento mínimo. Entonces $x_0 \mapsto \varnothing$ .

(ii) Supongamos $f$ se ha definido para $x \in I_W (x')$ . Definir $x' \mapsto \sup^+ f(I_W (x'))$ .

Dejemos que $\tilde{f} = f: X \to \mathrm{im}f$ . Entonces $\tilde{f}$ es una biyección y $\mathrm{im}f$ es un segmento inicial de un ordinal, por lo que también es un ordinal. $\Box$

O bien $\alpha \in \beta$ o $\beta \in \alpha$ . Por lo tanto, o bien $X \hookrightarrow Y$ o $Y \hookrightarrow X$ .

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(IC) $\rightarrow$ (SC): Que $X,Y$ sean conjuntos. Entonces $X \hookrightarrow Y$ o $Y \hookrightarrow X$ . Dado $X \hookrightarrow Y$ es fácil construir una suryección $Y \twoheadrightarrow X$ de forma similar para $Y \hookrightarrow X$ .

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¿Pueden decirme si estas pruebas son correctas? Gracias.

También quería probar (IC) $\rightarrow$ (WO), pero estoy atascado. He pensado en algo como si $X$ es un conjunto y $\alpha$ es un ordinal, entonces $X \hookrightarrow \alpha$ o $\alpha \hookrightarrow X$ pero este último caso parece ser un callejón sin salida.

Answer 1

Una pista: Dejemos que $A$ sea un conjunto, y que $\aleph(A)$ el menor ordinal $\alpha$ de manera que no haya ninguna inyección de $\alpha$ en $A$ . (¡Debe demostrar que dicho ordinal existe efectivamente!)

Como hay una inyección entre cada dos conjuntos, hay una inyección entre $A$ y $\aleph(A)$ . No puede ser de $\aleph(A)$ por lo que es de $A$ . Ahora puede demostrar que $A$ puede estar bien ordenado.

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La idea de la sobreinyección es la misma, sustituir $\aleph(A)$ por $\aleph^\ast(A)$ que es el menos ordinal $\alpha$ tal que $A$ no puede asignarse a $\alpha$ .

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Las pruebas que has dado son correctas.

Answer 2

PISTA para (IC) $\to$ (WO): Usted está en el camino correcto. Deja que $X$ sea un conjunto cualquiera, y que $\kappa$ sea el Número de Hartogs de $X$ .

Answer 3

Las dos respuestas son un empate, así que las fusiono en una, para evitar tener que elegir una de ellas:

De la respuesta de Asaf: Mis dos pruebas son correctas.

De la respuesta de Brian: Supongamos (IC) y dejemos que $X$ sea un conjunto cualquiera. Sea $\alpha$ sea el número Hartogs de $X$ es decir, el ordinal más pequeño tal que no hay inyección $\alpha \hookrightarrow X$ . Por (IC) hay una inyección $X \hookrightarrow \alpha$ Por lo tanto $X$ está bien ordenado.