Estoy haciendo el siguiente ejercicio de Just/Weese:
Demuestre en ZF que (WO) implica (IC) y que (IC) implica (SC).
donde
(WO) Todo conjunto puede estar bien ordenado.
(IC) Para dos conjuntos cualesquiera $X,Y$ o bien hay una inyección $X \hookrightarrow Y$ o $Y \hookrightarrow X$ .
(SC) Para dos conjuntos cualesquiera $X,Y$ o bien hay una suryección $X \twoheadrightarrow Y$ o $Y \twoheadrightarrow X$ .
(WO) $\rightarrow$ (IC): Sea $X,Y$ sean dos conjuntos. Entonces por (WO) pueden estar bien ordenados. Por tanto, cada uno está en biyección con un ordinal $\alpha$ (y $\beta$ respectivamente):
Afirmación: Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un ordinal.
Prueba de ello: Sea $\langle, X,W \rangle$ sea un conjunto bien ordenado. Sea $\alpha$ sea un ordinal con $|\alpha| \ge |X|$ . Definir un mapa inyectivo $f: X \hookrightarrow \alpha$ de la siguiente manera:
(i) Sea $x_0$ sea el $W$ -elemento mínimo. Entonces $x_0 \mapsto \varnothing$ .
(ii) Supongamos $f$ se ha definido para $x \in I_W (x')$ . Definir $x' \mapsto \sup^+ f(I_W (x'))$ .
Dejemos que $\tilde{f} = f: X \to \mathrm{im}f$ . Entonces $\tilde{f}$ es una biyección y $\mathrm{im}f$ es un segmento inicial de un ordinal, por lo que también es un ordinal. $\Box$
O bien $\alpha \in \beta$ o $\beta \in \alpha$ . Por lo tanto, o bien $X \hookrightarrow Y$ o $Y \hookrightarrow X$ .
(IC) $\rightarrow$ (SC): Que $X,Y$ sean conjuntos. Entonces $X \hookrightarrow Y$ o $Y \hookrightarrow X$ . Dado $X \hookrightarrow Y$ es fácil construir una suryección $Y \twoheadrightarrow X$ de forma similar para $Y \hookrightarrow X$ .
¿Pueden decirme si estas pruebas son correctas? Gracias.
También quería probar (IC) $\rightarrow$ (WO), pero estoy atascado. He pensado en algo como si $X$ es un conjunto y $\alpha$ es un ordinal, entonces $X \hookrightarrow \alpha$ o $\alpha \hookrightarrow X$ pero este último caso parece ser un callejón sin salida.
