Simplificando la expresión de un punto y un producto cruzado

Question

Estoy tratando de resolver o simplificar $$\left [ \,f \cdot \frac {(u \times v)}{||u \times v||_2} \right ] \frac {(u \times v)}{||u \times v||_2} = 0$$ donde $f$ es un vector unitario y $u,v$ son vectores.

¿Hay alguna manera de simplificar esto?

He estado tratando de usar algo de las identidades del triple producto por ejemplo. ${ \displaystyle ( \mathbf {a} \cdot ( \mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\, \mathbf {a} =( \mathbf {a} \times \mathbf {b} ) \times ( \mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$ pero en realidad sólo han hecho las cosas más complicadas.

Answer 1

$u,v$ no pueden ser paralelos, de lo contrario el LHS sería indefinido. Entonces su ecuación se simplifica a

$$f\cdot(u\times v)=0$$ que expresa que los vectores $f,u,v$ son linealmente dependientes.

$$\lambda f+\mu u+\nu v=0,$$ con $\lambda,\mu,\nu$ no todo es cero.

Answer 2

Porque $0$ en el lado derecho significa vector cero y $u \times v$ es un vector distinto de cero, entonces debe ser $$\,f\cdot (u\times v) = 0$$
( $0$ aquí es un escalar) .

Además, creo que no se puede simplificar, pero se puede escribir alternativamente en forma de matriz $f^TS(u)v=0$ donde la matriz sesgada-simétrica $S(u)=[ u \times i \ \ \ \ u \times j \ \ \ \ u \times k ]$ se genera a partir de los productos vectoriales de $u$ con vectores de base estándar $i,j,k$ .