Álgebra lineal (transformaciones ortogonales)

Question

Supongamos que $T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ es una transformación ortogonal que preserva la orientación y $n$ está en paz. Supongamos también que existe algún vector $v\in\mathbb{R}^n$ tal que $T(v)=v$ . Sea $E$ denotan el complemento ortogonal de $v$ . Demuestre que existen algunas $u\in E$ tal que $T(u)=u$ .

¿Es esto cierto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $E$ es un espacio euclidiano de dimensión impar fijado globalmente por $T$ y la restricción de $T$ a $E$ conserva la orientación (ya que se extiende por el vector fijo $v$ es preservador de la orientación). Así que la pregunta realmente es: ¿una transformación ortogonal que preserva la orientación de un espacio euclidiano impar tiene siempre un vector fijo?

La respuesta es sí. El polinomio característico $P$ de (el nuevo, restringido) $T$ es unitaria, real y de grado impar $2m+1$ y sus raíces (complejas) se encuentran en el círculo unitario porque $T$ es ortogonal. Factorización $P$ en factores irreducibles en $\mathbf R[X]$ los factores irreducibles son de la forma $X^2-2\cos\alpha X+1$ , $X-1$ o $X+1$ . Desde $\det T=1$ el término constante de $P$ es $(-1)^{2m+1}=-1$ , por lo que hay al menos un factor $X-1$ y, por tanto, un vector propio $u$ para el valor propio $1$ . (En lugar de mirar el término constante, también se puede razonar: el producto de todas las raíces de $P$ debe ser $1$ , por lo que el número de factores $X+1$ es par, y el de los factores $X-1$ por lo tanto impar, de ahí que sea distinto de cero).

Answer 2

Esto debería ser cierto, creo. Ya que $T$ mapas $E\cong \mathbb{R}^{n-1}$ en sí mismo, lo que hay que demostrar es lo siguiente:

Si $T\colon \mathbb{R}^{n-1}\to \mathbb{R}^{n-1}$ es una transformación lineal ortogonal que preserva la orientación ( $n$ incluso), entonces hay un $v\in \mathbb{R}^{n-1}$ tal que $Tv = v$ .

Demostremos esto por contradicción. Si fuera falso, entonces el mapa lineal $T - \mathrm{Id}$ sería invertible. Afirmo que, de hecho, para cada $\lambda\in [0,1]$ el mapa lineal $\lambda T - (1-\lambda)\mathrm{Id}$ es invertible. La única forma de que esto sea falso es que haya una $v\in \mathbb{R}^{n-1}$ tal que $\lambda Tv = (1-\lambda)v$ o, en otras palabras, que $Tv = \frac{1-\lambda}{\lambda} v$ . Como los valores propios de las transformaciones ortogonales tienen valor absoluto $1$ Esto sólo puede ocurrir cuando $\lambda = 1/2$ . Pero $(1/2)T - (1/2)\mathrm{Id} = (1/2)(T - \mathrm{Id})$ es invertible ya que $T - \mathrm{Id}$ es invertible. Esto demuestra que $\lambda T - (1-\lambda)\mathrm{Id}$ es invertible para todo $\lambda\in [0,1]$ . Sea $\varphi(\lambda) = \det(\lambda T - (1-\lambda)\mathrm{Id})$ . Entonces $\varphi$ es una función continua no evanescente en $[0,1]$ . Pero $\varphi(1) = \det T = 1$ y $\varphi(0) = \det(-\mathrm{Id}) = (-1)^{n-1} = -1$ Así que $\varphi$ cambia de signo en $[0,1]$ , una contradicción con el hecho de que $\varphi$ es no evanescente.

Answer 3

Desde $T$ es ortogonal tiene un conjunto completo de vectores propios. También está claro que sólo tiene elementos reales (de lo contrario sería $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ ). Por lo tanto, todos los valores propios son reales o vienen en pares conjugados. $v$ es un vector propio con valor propio que es real, $\lambda =1$ . Dado que el conjunto de valores propios restantes para $T$ tiene tamaño $n-1$ que es impar, queda (al menos) un valor propio real. Llámelo $\lambda_u$ . Desde la ortogonalidad es $\lambda_u=1$ o $\lambda_u=-1$ . No estoy exactamente seguro de lo que significa "conserva la orientación", pero creo que debe significar que $\lambda_u \ne -1$ Por lo tanto $\lambda_u=1$ y tiene el vector $u$ tal que $T(u)=u$ .