Única factorización teorema en la teoría algebraica de números

Question

Consideremos el conjunto a $S = a + b \sqrt {-6}$ donde $a$ $b$ son enteros. Ahora, para demostrar que la única factorización teorema no se cumple en el conjunto de $S$, podemos tomar el ejemplo de la siguiente manera:

$$ 10 = 2 \cdot 5 = (2+\sqrt {-6}) (2-\sqrt {-6}) $$ "Por lo tanto, podemos concluir que no es exclusivo de la factorización de 10 en conjunto $S$. Tenga en cuenta que esta conclusión no depende de nuestro conocimiento, que $2+\sqrt {-6}$ $2-\sqrt {-6}$ son primos; son en realidad, pero es importante en nuestra discusión. "

Puede alguien explicar por qué la conclusión es independiente de la naturaleza de la $2+\sqrt {-6}$$2-\sqrt {-6}$. Básicamente, la única factorización teorema se basa en el hecho de que los factores son números primos. Así que, ¿por qué es independiente?

Nota: Este es del libro Una Introducción a la Teoría de Números, 5ª Edición por Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, y Hugh L. Montgomery.

Answer 1

Usted ha omitido una frase crucial, justo antes de que el texto que has citado:

El primer producto $2 \cdot 5$ tiene factores que son los principales en $\mathcal C$, como hemos visto.

La no escrita argumento en el libro, parece ser:

$2\pm\sqrt {-6}$ son claramente no es igual a $2$$5$. Si $2\pm\sqrt {-6}$ son primos, entonces tenemos dos factorizations con diferentes factores. Si $2\pm\sqrt {-6}$ puede ser descompuesto, entonces tenemos dos factorizations con diferente número de factores.

Creo que lo que falta aquí es que $2\pm\sqrt {-6}$ podría ser asociados a$2$$5$. Lo que está claro que no asociados porque sus normas no son las mismas: $N(2\pm\sqrt {-6})=10$, $N(2)=4$, $N(5)=25$.

Sin embargo, los autores no hablar de los asociados. Usted necesita considerar aquellos que cuando se habla de la singularidad, de lo contrario se podría pensar que $2\cdot 3$ $(-2) \cdot (-3)$ eran dos diferentes factorizations de $6$$\mathbb Z$.

Sería más sencillo simplemente para decir que $2\pm\sqrt {-6}$ son primos porque $N(2\pm\sqrt {-6})=10$ cuya adecuada de los factores en $\mathbb Z$ a menos de $6$, como se explica en la página anterior, la ecuación 1.2.

Answer 2

$2$ es Irreductible, pero no Primos.

De hecho, si $2=cd$, $N(c)=2$ pero no hay ninguna solución a $a^2 + 6b^2 = 2$ reducción de modulo 6. Por lo tanto $2$ es Irreductible.

$2 |10 = (2+\sqrt {-6}) (2-\sqrt {-6})$, pero si $2 |(2+\sqrt {-6})$ $2 |\sqrt{-6}$ lo cual es imposible, ya que $2(a+b\sqrt{-6})=\sqrt{-6}$ no tiene soluciones. Mismo por el signo menos. Por lo tanto $2$ no es primo.

Answer 3

Antes de responder, hay un par de cosas que me gustaría aclarar.

Primero de todo, por "única teorema de factorización" necesitamos saber qué dominio de la que estamos trabajando. Por lo general, es buen ol' $\mathbb{Z}$ (los números enteros, enteros algebraicos de grado 1), para que la gente no moleste a especificar porque se entiende.

Pero son usted seguro de que el libro, en realidad dice "que la única factorización teorema no se cumple en el conjunto de $S$"? Se siente como que he añadido un extra de palabra, "teorema". He leído que el capítulo de la 4ª edición, y supongo que es posible que también tiene ese extra de la palabra, pero me acaba de saltar sobre.

El significado es el mismo: $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ (o $\textbf{Z}[\sqrt{-6}]$ o $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\sqrt{-6}$, dependiendo de sus preferencias de notación) no es la única factorización de dominio (UFD); en ella, la única factorización no se sostiene.

Niven et al, así como Bolker y otros contemporáneos, el uso de los "prime" en ciertos contextos, cuando la mayoría de los autores modernos usar "irreductible". Si $p$ es irreductible e $ab = p$, entonces cualquiera de las $a$ es una unidad o $b$ es una unidad (en $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$, las únicas unidades son de 1 y $-1$).

Pero para $p$ primo, tenemos el requisito adicional de que por cada caso de $p \mid ab$, entonces cualquiera de las $p \mid a$ o $p \mid b$. Esto no molesta nada en $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, $10 \mid 5 \times 8$ pero $10 \nmid 5$$10 \nmid 8$. Pero esto no hace cambiar las cosas en dominios como $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ que no tienen una única factorización.

El ejemplo más común que la única factorización no se sostiene en $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$$6 = 2 \times 3 = (-1)(\sqrt{-6})^2$. Pero $10 = 2 \times 5 = (2 - \sqrt{-6})(2 + \sqrt{-6})$ es también de valor pedagógico.

Si desea comprobar que el 2, 5, $2 - \sqrt{-6}$ $2 + \sqrt{-6}$ son todos irreductible, que bueno, creo que usted debe comprobar que esto es cierto. Pero usted no tiene , al menos no para todos ellos. Primero debemos verificar que el 2 y el 5 son irreductibles, y es suficiente para ver que $$\frac{2 - \sqrt{-6}}{2}$$ and $$\frac{2 - \sqrt{-6}}{5}$$ take us out of $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$, and likewise with $2 + \sqrt{-6}$, and the same goes if we flip the fractions. This doesn't rule out the possibility that $2 - \sqrt{-6}$ and $2 + \sqrt{-6}$ podría ser factorizados más, pero Niven et al no considerar que es necesario hacer todo eso.

Ahora, supongamos que alguien le dice a usted que $$28 = 2^2 \times 7 = (2 - 2 \sqrt{-6})(2 + 2 \sqrt{-6}).$$ This is technically true, but we have incomplete factorizations on both sides. Clearly $$\frac{2 + 2 \sqrt{-6}}{2} = 1 + \sqrt{-6},$$ and we can say something very similar for $2 - 2 \sqrt{-6}$.

Por lo tanto, las diferentes factorizations de 28 se muestra arriba no son distintos el uno del otro porque ambos números en el último factorización son divisibles por el primer número en la primera (sin el exponente), y dividiendo ese número de la última, se obtiene la factorización de la segunda cifra de la anterior.

Nosotros no podemos hacer eso con los dos factorizations de 10 que te han dado, por lo que incluso si no podemos comprobar si $2 - \sqrt{-6}$ $2 + \sqrt{-6}$ son irreductibles, debemos concluir que se nos ha dado dos distintas factorizations de 10. Por lo tanto, no puede ser único teorema de factorización para $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$.