p-norma de una función

Question

Deje $f\in L^1(\mu)\cap L^\infty(\mu)$. He demostrado que para cualquier $1<p<\infty$, $f\in L^p(\mu)$, $w(p)=||f||_p$ es continua en w.r.t. $p$, e $\lim_{p\to \infty}||f||_p=||f||_\infty$.

Es $w(p)$ diferenciable? Se $w(p)$ ser cóncavo o convexo función de w.r.t. $p$ al $p$ lo suficientemente grande?

Answer 1

Hay una cierta convexidad, no sé si esto te ayuda, pero: Vamos $p_0, p_1 \in [1,\infty]$, $\theta \in [0,1]$, $\frac 1p = \frac{1-\theta}{p_0} + \frac{\theta}{p_1}$. A continuación, para $f \in L^{p_0}\cap L^{p_1}$, por Hölder $$\begin{align*}\def\norm#1#2{\left\|#1\right\|_{#2}}\def\abs#1{\left|#1\right|} \norm fp &= \norm{\abs{f}^{1-\theta}\abs{f}^\theta}p \\ &\le \norm{\abs f^{1-\theta}}{p_0/(1-\theta)}\norm{\abs{f}^\theta}{p_1/\theta}\\ &\le \norm f{p_0}^{1-\theta}\norm{f}{p_1}^\theta \end{align*}$$ Tomando logaritmos, tenemos $$\log \norm fp \le (1-\theta)\log \norm f{p_0}+ \theta\log\norm f{p_1}$$ Por lo tanto
$$[0,1] \to \mathbb R, \quad r \mapsto \log \norm f{1/r}$$ es convexa.

Answer 2

Añadir a martini respuesta: Desde el $$\|f\|_p \le \|f\|_{p_0}^{1-\theta}\|f\|_{p_1}^\theta$$ uno encuentra el uso de los Jóvenes de la desigualdad en la forma $$ab \le \theta^{\frac1\theta} + (1-\theta)b^{\frac1{1-\theta}}$$ la estimación $$\|f\|_p \le \|f\|_{p_0}^{1-\theta}\|f\|_{p_1}^\theta \le (1-\theta)\|f\|_{p_0} + \theta\|f\|_{p_1}.$$ Utilizando la definición de $p$ es $$\|f\|_{\frac1{\frac{1-\theta}{p_0} + \frac\theta{p_1}}} \le (1-\theta)\|f\|_{p_0} + \theta\|f\|_{p_1}.$$ Por lo tanto la asignación de $$1/p \mapsto \|f\|_{1/(1/p)}$$ es convexa.