El mayor número primo $p$ que no puede ser escrita como la suma de tres números compuestos?

Question

Esta cuestión es obvia en el sentido de que las brechas primarias en promedio son mayores a medida que los números van hacia el infinito.

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo empezar a abordar esta cuestión aparte de un ensayo y error muy básico.

Cualquier idea será útil. Gracias.

Answer 1

Mira la secuencia de números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, etc. Intente elegir tres de ellos al azar, sumarlos y tomar nota de lo que sucede.

¿Los números compuestos tienen que ser distintos? Si es así, el primo más pequeño que puede ser expresado como la suma de tres números compuestos distintos es 4 + 6 + 9 = 19. Entonces, para cualquier $p > 17$ podemos restar 9 y el problema se convierte en encontrar dos números compuestos distintos para sumar $p - 9$ . La forma más fácil, creo, es $$ \left ( \frac {p - 9}{2} - 1 \right ) + \left ( \frac {p - 9}{2} + 1 \right ).$$

Si no necesitas que los números compuestos sean distintos, entonces también puedes hacer 9 + 4 + 4 = 17.

Answer 2

Pista: cualquier primo $ \ge 17$ puede escribirse como $9 + 4 + y$ donde $y$ es un número compuesto.

Answer 3

Pista: Todo número de impar mayor o igual a $17$ puede escribirse como una suma de tres compuestos: $9 + 4 + (4+2j)$ para algunos $j \ge 0$ .