Mostrando una función en $[0,1]$ es el cero de la función

Question

Supongamos $f$ es continua en a $[0,1]$ y

$$ \int\limits_0^1 f(x) x^n d x = 0 $$

para todos los $n=0,1,2,...$. A continuación, $f(x) = 0$

Yo estaba tratando de usar por partes

$$ 0 = f(x) \frac{x^{n+1}}{n+1} \bigg|_0^1 - \int\limits_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} f(x) dx $$

Por lo tanto,

$$ \frac{f(1)}{n+1} = \int\limits_0^1 \frac{ x^{n+1} f(x) dx }{n+1} \implies f(1) = \int\limits_0^1 x^{n+1} f(x) dx $$

pero aquí estoy atascado. Tal vez mi idea no es la mejor? ¿Cómo acercarse a este problema?

Answer 1

Por aproximación de Weierstrass teorema, existe una secuencia de polinomio $\{f_n\}$ tal que $f_n \rightarrow f$ uniformemente en $[0, 1]$.

Por lo tanto sigue \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty} \int^1_0 f_n(x)f(x)\ dx = \int^1_0 f(x)^2\ dx \end{align} pero también sabemos que \begin{align} \int^1_0 f_n(x)f(x)\ dx =0 \end{align} desde \begin{align} \int^1_0 x^n f(x)\ dx = 0 \end{align} para todos los $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$. Por lo tanto, de la siguiente manera \begin{align} \int^1_0 f(x)^2\ dx = 0 \end{align} lo que significa que $f(x) \equiv 0$.

Answer 2

Desde $C^0([0,1])\subset L^2(0,1)$ podemos suponer que la $f(x)$ tiene la siguiente expansión en términos de la cambió polinomios de Legendre (que forman una base ortogonal de $L^2(0,1)$ con respecto a la costumbre producto interior $\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx$) $$ f(x) = \sum_{n\geq 0} c_n\,P_n(2x-1) \tag{1}$$ donde $$ c_n = (2n+1)\int_{0}^{1} f(x)\,P_n(2x-1)\,dx = 0 \tag{2} $$ desde $P_n(2x-1)$ es un polinomio. $f(x)\equiv 0$ sigue a continuación, a partir de la identidad de Parseval: $$ \int_{0}^{1}f(x)^2\,dx = \sum_{n\geq 0}\frac{c_n^2}{2n+1}=0.\tag{3}$$