El valor del polinomio en el punto dado.

Question

Dado que: $f(x)=x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1$. Encontrar el valor de $f(x)$ $x=\sqrt{2}-1$

La respuesta es un número entero. Traté de factorización, pero no podía avanzar hacia nada prometedor.

Answer 1

Usted no necesita computar todo. De $x = \sqrt{2}-1$, se obtiene el siguiente:$$p(x) = x^2 + 2x -1 = 0$$Now perform long division on the given polynomial and get this form:$$f(x) = Q(x)p(x) + R(x)$$Now we know that $p(\sqrt{2}-1) = 0$ so we have$$f(\sqrt{2}-1) = R(\sqrt{2}-1)$$voy a dejar el trabajo de cálculo para usted, pero debe ser fácil porque el resto resulta ser una constante, por lo que no tendrás que conectar nada.

Answer 2

Acaba de calcular el valor de cada potencia $$x=\sqrt{2}-1$$ $$x^2=x \times x=3-2 \sqrt{2}$$ $$x^3=x\times x^2=5 \sqrt{2}-7$$ $$x^6=x^3 \times x^3=99-70 \sqrt{2}$$ $$x^7=x\times x^6=169 \sqrt{2}-239$$ $$x^9=x^7\times x^2=985 \sqrt{2}-1393$$ $$x^{10}=x^7\times x^3=3363-2378 \sqrt{2}$$ Con este tipo de problema, sólo el trabajo de una manera sistemática.

Feliz Año Nuevo !!

Editar

Parth Kohli la respuesta que ofrece otra interesante manera de calcular los diferentes poderes de $x$ (su solución es mucho más elegante y más rápido que mi fuerza bruta basada en el método).

Consideremos que el valor para el que necesitamos para calcular el polinomio es una de las raíces de la ecuación cuadrática $x^2+2x-1=0$. Así $$x^2=-2x+1$$ $$x^3=-2x^2+x=-2(-2x+1)+x=5x-2$$ $$x^4=5x^2-2x=5(-2x+1)-2x=-12x+5$$ $$x^5=-12x^2+5x=-12(-2x+1)+5x=29x-12$$ $$x^6=29x^2-12x=29(-2x+1)-12x=-70x+29$$ $$x^7=-70x^2+29x=-70(-2x+1)+29x=169x-70$$ $$x^8=169x^2-70x=169(-2x+1)-70x=-408x+169$$ $$x^9=-408x^2+169x=-408(-2x+1)+169x=985x-408$$ $$x^{10}=985x^2-408x=985(-2x+1)-408x=-2378x+985$$ Please notice the nice pattern in the numbers. Compute now the expression and get the final result (and notice that you will not use at all the fact that $x=\sqrt 2-1$; esto se explica en Parth Kohli la respuesta de la constante resto).

Answer 3

$$f(x)=x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1\\=x(x((x-1)(x+1)(x(x+2)-1)x^4+3)+6)+1$$

$\Longrightarrow f(\sqrt 2 -1)=\boxed{\color{red}{4}}$

Answer 4

Usted puede hacer uso del método de Horner. Por aplicación de la fórmula $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, mientras que a veces el factoring los factores comunes (-1 y 3 en este caso), calculando el resultado es sorprendentemente agradable:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc} & 1 & 2 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6 & 1\\ & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + &\\ & 0 & \sqrt{2}-1 & 2-1 & -\sqrt{2}+1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3\sqrt{2}-3 & 3\\ \hline x=\sqrt{2}-1 & 1 & \sqrt{2}+1 & -1 & -(\sqrt{2}+1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3(\sqrt{2}+1) & \boxed{\color{red}{4}}\\ \end{array} $$

Breve explicación:

• $1, 2, -2, \ldots, 1$ el coeficiente de la polynom de alto a bajo, incluyendo el cero!

• La tercera fila (por debajo de los signos más) siempre consiste en el resultado de la última fila de la última columna multiplicada por x. El valor de la primera columna es 0.

• La cuarta fila es simplemente la suma de la primera y tercera filas.

Por ejemplo, los primeros cálculos del esquema anterior quedaría de la siguiente manera:

• $1 + 0 = 1$
• $(\sqrt{2}-1)*1 = \sqrt{2}-1$
• $2 + \sqrt{2}-1 = \sqrt{2}+1$
• $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2 - 1 = 1$
• $\ldots$