Desigualdad, Cauchy Schwarz y Schur

Question

Para $a,b, c>0$ demuestre que $$\frac{a^3}{a^3+b^3+abc}+\frac{b^3}{b^3+c^3+abc}+\frac{c^3}{c^3+a^3+abc}\geq 1$$

He probado lo siguiente $$\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^3+b^3+abc}\cdot \sum_{cyc}a^3+b^3+abc\geq (a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})^2$$ donde cyc significa suma cíclica de $a,b,c$ entonces podríamos demostrar que $$(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)+3abc$$ para demostrar nuestra desigualdad original. Esto se parece a Schur pero con el signo de la desigualdad invertido. ¿Cómo procederías? ¿Alguna idea o sugerencia?

Answer 1

Sea $x=\dfrac{b}{a},y=\dfrac{c}{b},z=\dfrac{a}{c},\Longrightarrow xyz=1$ entonces $$\dfrac{a^3}{a^3+b^3+abc}=\dfrac{1}{1+x^3+\frac{x}{z}}=\dfrac{1}{xyz+x^3+x^2y}=\dfrac{xyz}{xyz+x^3+x^2y}=\dfrac{yz}{yz+x^2+xy}$$ y utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$\left(\sum_{cyc}\dfrac{yz}{yz+x^2+xy}\right)\sum_{cyc}yz(yz+x^2+xy)\ge (xy+yz+xz)^2$$ Esto está claro

De hecho $$(xy+yz+xz)^2=yz(yz+x^2+xy)+zx(zx+y^2+yz)+xy(xy+z^2+zx)$$ así que $$\sum_{cyc}\dfrac{yz}{yz+x^2+xy}\ge 1$$