Subgrupos propios de índice finito de $Z[1/p]$

Question

Sé cómo demostrarlo $\mathbb{Q}$ no tiene subgrupos propios de índice finito:

Sea $H\leq\mathbb{Q}$ sea un subgrupo de índice finito. Sea $x\in\mathbb{Q}$ . Entonces $x+H=[\mathbb{Q}:H]\cdot(x/[\mathbb{Q}:H]+H)=H$ (por el teorema de Lagrange). Por tanto, $x\in H$ y, por tanto $H=\mathbb{Q}$ .

Ahora, ¿qué pasa con los subgrupos de índice finito de $G=\mathbb{Z}[1/p]$ ? Un argumento análogo demuestra que si $[G:H]=p^n$ entonces $H=G$ .

Sin embargo, sigo preguntando:

En $\mathbb{Z}[1/p]$ tienen subgrupos propios de índice finito?

Answer 1

He aquí una forma de obtenerlos, que casi con toda seguridad es exagerada.

Consideremos la secuencia exacta corta estándar: $$0\rightarrow n\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z\rightarrow \mathbb Z/n\mathbb Z \rightarrow 0,$$ y aplicar el functor exacto $-\otimes\mathbb Z[1/p]$ para obtener una secuencia exacta corta $$0\rightarrow n\mathbb Z[1/p] \rightarrow \mathbb Z[1/p]\rightarrow \mathbb Z/n\mathbb Z \rightarrow 0,$$ tras señalar que $n$ coprimo a $p$ da $\mathbb Z/n\mathbb Z\cong \mathbb Z/n\mathbb Z\otimes\mathbb Z[1/p]$ .

Para ver que son los sólo subgrupos de índice finito, toma $H\leqslant\mathbb Z[1/p]$ de índice $n$ y utilizar su argumento aquí para ver que $n$ es necesariamente coprimo de $p$ . Ahora debe contener $n\mathbb Z[1/p]$ ya que el cociente tiene exponente $n$ . Pero $n\mathbb Z[1/p]$ también tiene índice $n$ por lo anterior. Así que $H=n\mathbb Z[1/p]$ como desee.