¿Solución geométrica? Dadas las coordenadas de $A$ , $B$ , $C$ , encontrar $M$ en $y=x$ minimizar $AM+BM+CM$

Question

Yo tengo el problema:

Demos tres puntos $A(1,2)$ , $B(3,4)$ , $C(5,6)$ . Encontrar el punto $M$ en la línea $y=x$ para que la suma de las distancias $P=AM+BM+CM$ es el más pequeño.

Lo he intentado. Tenemos $$P=\sqrt{(x-1)^2 + (x-2)^2} + \sqrt{(x-3)^2 + (x-4)^2} +\sqrt{(x-5)^2 + (x-6)^2}.$$ Sabemos que $$\sqrt{a^2 + b^2}+\sqrt{c^2 + d^2} \geqslant \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2}.$$ El signo de igualdad se produce cuando y sólo cuando $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ . Tenemos \begin {align*} \sqrt {(x-1)^2 + (x-2)^2} + \sqrt {(x-5)^2 + (x-6)^2} & = \sqrt {(x-1)^2 + (x-2)^2} + \sqrt {(5-x)^2 + (6-x)^2} \\ & \geqslant \sqrt {(x-1 + 6-x)^2 + (x-2 + 5-x)^2} \\ & \geqslant \sqrt {34}. \end {align*}

El signo de igualdad ocurre $$\dfrac{x-1}{6-x}=\dfrac{x-2}{5-x} \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}.$$ Otra forma $$\sqrt{(x-3)^2 + (x-4)^2} =\sqrt{2x^2 - 14 x + 25} = \sqrt{2}\sqrt{\left (x-\dfrac{7}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4} } \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$$ El signo de igualdad ocurre $ x=\dfrac{7}{2}.$ Por lo tanto, la menor de las expresiones $P $ es $\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{34}$ en $x=\dfrac{7}{2}.$

¿Cómo puedo resolver este problema geométricamente?

Answer 1

Vamos $a$ sea una línea $y=x$ .

Así, afirmamos que para la base $M$ de la perpendicular bajada de $B$ a $a$ suma $AM + BM + CM$ es el más pequeño. Es fácil demostrarlo utilizando un punto adicional $A'$ que es simétrico al punto $A$ con respecto a la línea $a$ . Uno puede ver que $A'MC$ es el segmento de línea (debido a la simetría de los puntos $A$ , $C$ con respecto al punto $B$ ). Por lo tanto, si $M' \neq M$ es un punto elegido arbitrariamente en $a$ entonces \begin {align} AM' + BM' + CM' = & A'M' + M'C + BM' > \\ &A'M + MC + BM = AM + BM + CM, \end {align} así que $M$ es nuestro punto deseado. Es fácil calcular sus coordenadas, que son $(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$ exactamente como en su respuesta.