¿Qué funciones continuas son polinomios?

Question

Supongamos que $f \in C(\mathbb{R}^n)$ el espacio de los continuos $\mathbb{R}$ -funciones valoradas en $\mathbb{R}^n$ . ¿Existen condiciones para $f$ que garanticen que es el pullback de un polinomio bajo algún homeomorfismo? Es decir, ¿cuándo puedo encontrar $\phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tal que $f \circ \phi \in \mathbb{R}[x_1,\ldots, x_n]$ ? He intentado jugar con el teorema de la función implícita pero no he llegado muy lejos. Parece que me estoy perdiendo algo muy obvio.

Algunas preguntas relacionadas:

• Una condición necesaria en el caso de $n = 1$ es que $f$ no puede alcanzar el mismo valor infinitas veces (ya que un polinomio sólo tiene un número finito de raíces). ¿Es esto suficiente?
• ¿Y si sustituimos $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$ ?
• ¿Y si, en cambio, nos fijamos en las funciones suaves?
• ¿Qué pasa con el caso analítico complejo?

Answer 1

Como no puedo dejar comentarios escribo esto aquí. Creo que esta pregunta se hace difícil por la condición de que $\phi$ es sólo un homeomorfismo requerido frente a, por ejemplo, un difeomorfismo.

En el caso n = 1 se pueden encontrar funciones continuas que no son diferenciables en un conjunto discreto, pero que se pueden recuperar para obtener un polinomio. Como ejemplo de bebé consideremos la función $f$ es decir $\sqrt{x}$ en los reales positivos y x en los reales negativos. Consideremos el homeomorfismo que es $x^2$ en los reales positivos y x en los reales negativos, entonces $f$ se remonta al polinomio $x$ .

No creo que sea suficiente que $f$ no alcanza el mismo valor infinitas veces. No tengo un contraejemplo pero creo que un candidato podría estar contenido en esto artículo . Lo esencial es que hay funciones continuas en todas partes y estrictamente monótonas pero con derivada 0 en casi todas partes.

Creo que tendrías más suerte usando el teorema de la función implícita si requieres $\phi$ para ser un difeomorfismo. También creo que es cierto que la "mayoría" de las funciones continuas de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no son muy agradables (diferencial sin lugar), por lo que una pregunta más manejable podría ser la misma pregunta pero requiriendo $f$ para ser suave.

Si sustituye $\mathbb{R}$ con $\mathbb{C}$ e imponer $f$ y $\phi$ ambos sean holomorfos, entonces creo que basta con que $f^{(n)}$ desaparecen para todos los casos suficientemente grandes $n$ porque se puede recuperar $f$ de su serie taylor.