Automorphism en el grupo de Weyl del sistema radicular y su extensión a la Mentira álgebra

Question

$L$ una simple Mentira álgebra $\mathbb{C}$ finito (dim.), $H$ a un máximo de toral, $\Phi$ el sistema de la raíz relativa a $H$.

A continuación, $L$ ha Cartan de descomposición $$L=H\oplus \amalg_{\alpha\in\Phi} L_{\alpha}.$$

En la discusión (y para la pregunta) fix $\sigma$ un automorphism en el grupo de Weyl $\Phi$.

A continuación, $\sigma$ induce un automorphism de $H$ [Véase la justificación de abajo].

Por lo tanto creo que de $\sigma$ automorphism de $H$ obtenido en forma natural.

Hay un camino para la construcción de una extensión de $\sigma$ a un automorphism de $L$. Se describe en Humphreys' álgebra de la Mentira, de la Sección 14.

P. ¿ Si $\sigma$ se lleva a raíz de $\alpha$ $\beta$(y, por tanto,$h_{\alpha}$$h_{\beta}$$H$), a continuación, en una extensión de $\sigma$ a automorphism de $L$, es necesario que el $\sigma$ debe tomar $L_{\alpha}$ a $L_{\beta}$?

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[Pasando de automorphism de $\Phi$ a automorphism de $H$:

dado cualquier raíz de $\alpha\in\Phi$; desde la Matanza de forma no es generar en $L$$H$, por lo que el mapa de $H^*\rightarrow H$ inducida por la Matanza de forma es isomorfismo. Por tanto, para $\alpha\in \Phi$ - que es de hecho un elemento de $H^*$ - no es único, $t_{\alpha}\in H$ tal que $\alpha$ se parece a $\kappa(t_{\alpha}, -)$. Para esto $t_{\alpha}$,$h_{\alpha}:=\frac{2t_{\alpha}}{\kappa(t_{\alpha}, t_{\alpha})}$, por Lo que cada una de las $\alpha$ determina un único $h_{\alpha}\in H$. Si $\sigma(\alpha)=\beta$, definir $\sigma(h_{\alpha})=h_{\beta}$. Desde $H$ es abelian Mentira álgebra, esto es claramente automorphism de $H$. ]

Answer 1

Sí! Arreglar cualquier $h_{\gamma}$ correspondiente a una raíz de $\gamma\neq \beta$ y asumir que $\sigma:h_{\alpha}\mapsto h_{\beta}$$\sigma:h_{\delta}\mapsto h_{\gamma}$. Deje $x\in L_{\alpha}$. La Matanza forma es invariante bajo automorfismos de la Mentira de álgebra. Podemos comprobar fácilmente que $$ \beta(h_{\gamma})=\frac{\beta(t_{\beta})}{\alpha(t_{\alpha})}\alpha(h_{\delta}). $$ Desde $\sigma$ es inducida a partir de una isometría de la raíz del sistema (por tratarse de un elemento del grupo de Weyl), se sigue que $$\beta(t_{\beta})=\kappa(t_{\beta},t_{\beta})=\langle \beta,\beta \rangle=\langle \alpha,\alpha \rangle=\alpha(t_{\alpha}).$$ así que $$\beta(h_{\gamma})\sigma(x)=\frac{\alpha(t_{\alpha})}{\beta(t_{\beta})}\beta(h_{\gamma})\sigma(x)=\alpha(h_{\delta})\sigma(x)=\sigma([h_{\delta},x])=[h_{\gamma},\sigma(x)]\;.$$ Para $\gamma=\beta$, tenemos $$\beta(h_{\beta})\sigma(x)=2\sigma(x)=\alpha(h_{\alpha})\sigma(x)=[h_{\beta},\sigma(x)].$$ Se extiende por la linealidad muestra que, efectivamente,$\sigma(x)\in L_{\beta}$.

Answer 2

La otra respuesta es buena, solo quiero dar una versión ligeramente modificada que evita el uso de la Matanza forma.

$\sigma$ ser un automorphism de $L$ significa por definición que (entre otras cosas) $\sigma$ es lineal y

$$[\sigma(x), \sigma(y)] = \sigma([x,y])$$

para todos los $x,y \in L$. Ahora vamos a $0\neq e_\alpha \in L_\alpha$. A continuación, para todos los $h \in H$

$$ [h, \sigma(e_\alpha)] = [\sigma(\sigma^{-1}(h)), \sigma(e_\alpha)] = \sigma([\sigma^{-1}(h),e_\alpha])= \sigma(\alpha(\sigma^{-1}(h)) \cdot e_\alpha) = \alpha(\sigma^{-1}(h)) \cdot \sigma(e_\alpha)$$

lo que significa que $H$ actúa en $\sigma(e_\alpha)$ a través de la peso $\alpha\circ \sigma^{-1}$. Ahora compruebe que por la forma en que definen $\sigma$$H$, usted tiene $\alpha\circ \sigma^{-1} = \sigma(\alpha)$.